NOMBRES PREMIERS PRIMAIRES ET NOMBRES PREMIERS SECONDAIRES

La théorie des nombres est certainement une des premières disciplines mathématiques abordées par l'homme. Les plus anciennes traces des nombres premiers remonteraient à 20.000 ans avant notre ère sur l'os d'Ishango retrouvé au Congo, mais c'est avec Eratosthène que 200 ans avant Jésus-Christ les nombres premiers se sont imposés. Et depuis, briques essentielles de la théorie des nombres, et peut-être, directement ou indirectement, de toutes les mathématiques, ils continuent d'attirer de plus en plus de chercheurs ([1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], ...).Nous proposons ici une nouvelle approche, à partir de nombreuses expérimentations numériques; pour cela, nous généralisons (§4 de [19], [21]) en considérant des familles de certains impairs pp à r chiffres Ci tous non nuls (d'écriture décimale C1C2...Cr pour des r >= 2), que nous appellerons des prépremiers; les ensembles des 0-successeurs premiers (d'expression décimale C1[0]1C2[0]2...[0]r-1Cr, avec [0]i représentant zi zéros, zi >= 0) de ces prépremiers constitueront des familles de premiers avec exactement r chiffres non nuls (ceux de pp et dans le même ordre) et un certain nombre de zéros intermédiaires. Ces diverses familles sont, bien sûr, des ensembles infinis et contiennent pour des zi croissants (et donc des nombres de taille croissante) des premiers qui n'ont 'presque' que des zéros et qui définiront, pour des Ci donnés (et ordonnés) en nombre r, tous les premiers (possibles) construits avec ces Ci (dans le même ordre) et des zéros intermédiaires. On distinguera ainsi les premiers primaires, sans zéro dans leur écriture décimale, et les premiers secondaires, avec au moins un zéro dans leur expression. En définissant les prépremiers pp, entiers impairs particuliers (qui vérifient une certaine propriété PPR, et qui peuvent être des premiers primaires) sans zéro dans leur expression décimale, et les 0-successeurs premiers de ces pp, on montrera que tout pp engendre une famille infinie de premiers secondaires {pp} ce qui permet de proposer une nouvelle approche, voire classification, des nombres premiers. On montrera que tout premier primaire engendre une infinité de premiers secondaires, alors qu'un premier secondaire ne peut définir au mieux qu'un seul premier primaire, ce qui précise le caractère générique des premiers primaires d'où leur nom. En outre, dès que l'on se place dans un intervalle [2, M] avec M supérieur à un certain M* que l'on déterminera, les premiers secondaires sont plus nombreux que les premiers primaires, et deviennent d'autant plus nombreux que M croît. Dans [2, 3*1010], on déterminera le nombre maximum de premiers consécutifs uniquement de type primaires et le nombre maximum de premiers consécutifs uniquement de type secondaires, ce dernier étant de très loin le plus grand des deux. On énoncera une conjecture sur le comportement de ces maximums dans N. Une simulation en ligne pour déterminer des 0-successeurs premiers d'un prépremier est proposée.