Published March 12, 2026 | Version v1
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NOMBRES PREMIERS DE SOPHIE GERMAIN et VARIANTES

Authors/Creators

  • 1. universite de Toulouse

Description

On s'intéresse ici aux nombres premiers de Sophie Germain (premiers p tels que 2p+1 soit aussi premier), non pas en tant que première pierre de la longue démarche <a href="#sg">(SG)</a> vers la résolution de la conjecture de Fermat, qui a abouti au théorème de Fermat-Wiles ([9]) en 1994, mais en tant qu'un certain ensemble de nombres premiers, noté PSG (strictement inclus dans l'ensemble P de tous les premiers), dont on étudiera, comme pour P ([4], [7], [15], [16], ...), les couples (jumeaux, cousins, sexy, ...), triplets ou autres n-uplets arithmétiques ou non. Cette analyse sera faite (comme dans [15], [16]) dans le cadre de l'arithmétique modulaire de Gauss, avec toujours le rôle essentiel joué par les classes modulo 6 de N/6N. <br/>
Dans PSG, on montrera, en particulier, qu'il n'y a que pour un écart e = 0(6) qu'il existe plusieurs couples et qu'il peut exister plusieurs triplets arithmétiques; pour e non 0(6), il n'existe aucun triplet ni couple, sauf, éventuellement (si 3+e &isin; PSG), l'unique couple (3, 3+e) pour e = 2(6).<br/>
On considèrera aussi d'autres ensembles de nombres premiers du même type (en s'inspirant des chaînes de Cunningham généralisées ([3), [5])) <a href="#ac">(AC)</a>, en troquant la liaison 2p+1 de PSG contre ap+b, avec a et b premiers entre eux; une propriété du nombre premier 3 puis une de l'entier impair 3 en résulteront.<br/>
Pour les ensembles PSG, G<sub>2</sub><sup>-1</sup> (défini par 2p-1) et G4 (défini par 2p+4), avec un écart e non 0(6), il y a au mieux dans quelques cas un seul couple possible mais jamais de triplet arithmétique et il faut e = 0(6) pour que plusieurs représentants soient possibles; pour a et b non 0(6), il existe au mieux un triplet quelconque débutant par p = 3. G6 (défini par 6p+1) est beaucoup plus riche et se rapproche de la situation dans P ([15], [16]), avec au moins un représentant (cas des couples et des triplets arithmétiques) pour quasiment chaque valeur de e.<br/>
On pourra <a href="http://sayrac.rlc.free.fr/germain.php"> lister en ligne </a> des nombres premiers appartenant aux ensembles PSG, G<sub>2</sub><sup>-1</sup>, G4 et G6.

 

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Available
2026-03-12

References

  • [1] R.Laubenbacher, D.Pengelley, Voici ce que j'ai trouve: Sophie Germain's grand plan to prove Fermat's Last Theorem, Historia Mathematica, Volume 37, Issue 4, Pages 641-692, <a href="https://arxiv.org/pdf/0801.1809.pdf"> arXiv:0801.1809 </a>, 2010. <br/> [2] de Polignac A., Recherches nouvelles sur les nombres premiers, CRAc.Sc.Paris, t.29, p.397-401, 1849.<br/> [3] A. Cunnningham, On hyper-even numbers and on Fermat's numbers, Proc. Lond. Math. Soc., series 2, 5, pp.237-274, 1907.<br/> [4] Vigo Brun, La série 1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/ 61+..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie, Bulletin des Sciences Mathématiques Vol. 43 : p.100-104, et p.124-128, 1919. <br/> [5] D.H. Lehmer, On certain chains of primes, Proc. Lond. Math. Soc., series 3, 14a, 183--186, 1965.<br/> [6] R.K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1981. <br/> [7] E. Bombieri, J. B. Friedlander, and H. Iwaniec, Primes in arithmetic progressions to large moduli,Acta Math. 156, 203–251, 1986. <br/> [8] G.Löh, Long chains of nearly doubled primes, Math. Comp., 53, 751-759, 1989.<br/> [9] A. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem, Annals of Mathematics. 141 (3): 443–551, 1995.<br/> [10] Ben J. Green et Terence Tao, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Annals of Mathematics, vol. 167,‎ p. 481-547 (<a href="https://arxiv.org/pdf/math/0404188.pdf"> arXiv math.NT/0404188 </a>), 2008.<br/> [11] D. A. Goldston, J. Pintz, and C. Y. Yildirim, Primes in tuples I, Ann. Math. 170, 819–862, 2009. <br/> [12] Yitang Zhang, Bounded gaps between primes, Annals of Mathematics, 179 :1121–1174, 2014. <br/> [13] James Maynard, Small gaps between primes, Annals of Mathematics, 181 :383–413, 2015.<br/> [14 ] A. Granville, Primes in intervals of bounded length, Bull. Amer. Math. Soc. 52, 171–222, 2015. <br/> [15] R.L.Clerc, Sous-ensembles et constellations arithmétiques de nombres premiers, p.1-10, (<a href="http://sayrac.rlc.free.fr/rarete.php">Constellations arithmétiques de premiers</a>), 2022.<br/> [16] R.L.Clerc, Constellations quelconques de nombres premiers, p.1-11, (<a href="http://sayrac.rlc.free.fr/constellation0.php">Constellations quelconques de premiers</a>), 2022.<br/> [17] Terence Tao, Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values, p.1-58, <a href="https://arxiv.org/pdf/1909.03562.pdf">arXiv:1909.03562</a>, 2022.<br/> [18] R.L.Clerc, Les transformations agréables et une nouvelle classe de nombres narcissiques parfaits, p.1-17, (<a href="http://sayrac.rlc.free.fr/agrearppdi0.php">Transformations agréables</a>), 2022.<br/> [19] V.Vallet, Entre mathématiques et littérature: les nombres de Queneau (<a href="https://publimath.fr/IST10003/"> Entre mathématiques et littérature</a>), 2010.<br/> [20] M. Audin, Poésies, spirales et battements de cartes (<a href="https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00598759">https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00598759 </a>), 2011.<br/>