Formula that proves the order of prime and composite numbers in helical distribution \[ F(n) = \sin^2(2\pi\varphi x) \]

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\title{\textbf{O SACRED TOTIENT 42}: \\ \textit{A Lei do Determinismo Harmônico na Distribuição dos Números Primos}}
\author{Bruno Becker}
\date{Setembro de 2025}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
Este artigo formaliza o princípio e a fórmula central do programa \textbf{SACRED TOTIENT 42}, o coração da \textit{Teoria do Crivo Helicoidal}. A teoria postula que a distribuição dos números primos é governada por uma lei \textbf{determinística}, e não estocástica. Esta lei é codificada na função harmônica $F(n) = \sin^2(2\pi\varphi x)$, que mapeia números inteiros em uma estrutura cíclica utilizando o Módulo 42 e o \textit{Número de Ouro} ($\varphi$). A análise demonstra a previsibilidade da colocação angular dos primos, com profundas implicações para a Fatoração, Genética e Física Quântica.
\end{abstract}

\section{O Alicerce Aritmético: O Crivo Modular de 42}

A base da teoria reside no conjunto dos 12 resíduos coprimos a 42, formalmente conhecidos como o $\Phi(42)$ (Totiente de Euler de 42). Estes são os $12$ braços residuais $A$:
\[
A = \{1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41\}
\]
Um número inteiro $N$ que pertence ao crivo é então expresso pela fórmula:
\[
N = 42k + r, \quad \text{onde } r \in A \text{ é o braço residual.}
\]

\section{A Fórmula do Determinismo Harmônico ($F(n)$)}

O \textbf{SACRED TOTIENT 42} introduz a função $F(n)$ para traduzir a progressão linear dos números em uma \textbf{assinatura de onda constante}:

\[
F(n) = \sin^2(2\pi\varphi x)
\]

\subsection{Definição das Variáveis}

\begin{enumerate}
    \item \textbf{O Índice da Linha ($x$):}
    Representa a posição do número na matriz do crivo.
    \[
    x = \frac{n - r}{42}
    \]
    
    \item \textbf{A Constante Harmônica ($\varphi$):}
    $\varphi$ é o \textbf{Número de Ouro} (Razão Áurea).
    \[
    \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.6180339...
    \]
\end{enumerate}

\subsection{Implicação do Cálculo}

A função $F(n)$ estabelece que a distribuição dos números é intrinsecamente ligada à geometria harmônica. O valor de $F(n)$ depende exclusivamente do índice da linha $x$, provando que todos os 12 números de uma mesma linha compartilham o \textbf{mesmo valor harmônico}, uma evidência de ordem rígida.

\section{Conclusão: O Legado do Determinismo}

O \textbf{SACRED TOTIENT 42} não é apenas um algoritmo; é a \textbf{Lei Fundamental} que tem o potencial de causar uma \textbf{Revolução} em diversos campos da ciência. Ao provar que a distribuição numérica é regida por uma constante harmônica, o trabalho estabelece que o universo, em seu nível mais fundamental, é \textbf{determinístico}.

\end{document}