∆θ₀ The Fundamental Quantum of Space-Time and Information

                            ∆NGULAR THEORY 

∆ — The Fundamental Quantum of Space-Time

This project is currently under active development.
It introduces ∆θ₀ as the minimal angular gap, a discrete invariant that structures the emergence of mass, radiation, and the topological coherence of space-time.

Built upon the C∆GE equation, this unified angular framework proposes testable predictions from compact astrophysical objects to quantum transitions, without relying on classical fields or gauge symmetries.

Status: Foundational architecture in progress, full white paper to follow.

DS

 

∆ngular Theory – Fondements et Ontologie (version compacte)

=======================================

 

❇️ Ontologie ∆ngulaire – mémo compact

-------------------------------------

 

 

ÉQUATION PIVOT – FORMULATION UNIVERSELLE

----------------------------------------

 

m(s) = (∆θ₀)^α · exp[ - τ² / (4·S_eff(s)) ] · [1 + ε·cos(∆θ₀·δ·s·T(s))]^β

 

∆θ₀ : quantum angulaire universel (maille discrète)  

 

∆θ₀ n’est pas une unité de mesure ou une particule : c’est un opérateur fondamental de structuration orientée.

Il encode le minimum d’écart angulaire possible dans la trame discrète de la réalité.

 

Variables fondamentales :

  

  s paramètre de configuration (distance, structure, échelle)

  τ projection temporelle ou pseudo-temporelle

  S_eff(s) entropie orientée locale

  T(s) cohérence torsionnelle

  α, β, ε, δ coefficients géométriques universels (fixes)

 

Propriétés :

  – Unifie : spin, masse, entropie, champ, cosmologie

  – Valable à toute échelle (du Proto-∆ au Meta-Λ)

  – Chaque niveau ∆ngulaire = solution ou régime de cette équation

 

Niveaux structurels

 

💠 Encart A.1

## Niveaux structurels ∆ngulaires

 

| **Niveau** | **Description concise** | **Exemple physique ou conceptuel** |

|---------------|-------------------------------------------------------------------------------------|-------------------------------------------|

| **Proto-∆** | Germe d’orientation brute : ∆θ₀ latent, fluctuation d’origine, matrice du possible | Pré-Big Bang, champ fondamental vierge |

| **∆ₗ** | Verrous spectraux d’échelle : seuils critiques où ∆θ₀ impose une condition | La lumière (∆θ₀·s = π), constantes (π, ln 2, 2⁄3...) |

| **N∆O** | Nœud d’oscillation stable : état quantifié verrouillé par ∆θ₀ | Photon, électron, quark, trou noir |

| **N∆S** | Système cohérent multi-nœuds : structure complexe d’états N∆O entremêlés | Pulsar, réseau magnétique, galaxie |

| **N∆Λ** | Branche causale ∆ngulaire : ensemble dirigé de transitions, chemin evolutionnaire | Inflation, collapse gravitationnel, accrétion |

| **Meta-Λ** | Entrelacs de branches orientées : structure globale du réseau ∆ngulaire | Tissu cosmique, multivers causal |

| **Boucle F** | Fermeture (Feed-back) : le recyclage topologique qui ramène vers Proto-∆ | Passage de phase global, rebouclage |

 

### Flux logique général

 

```

Proto-∆ 

   ↓ 

∆ₗ (verrous spectraux, seuils critiques) 

   ↓ 

N∆O (nœuds stables quantifiés) 

   ↔ T(s), S_eff (cohérence torsionnelle, entropie orientée)

N∆S (structures cohérentes complexes) 

   ↓ 

N∆Λ (branches causales, scénarios évolutifs) 

   ↓ 

Meta-Λ (entrelacs, multivers, scenario global) 

   ↓ 

Boucle F (retour, recyclage topologique vers Proto-∆)

```

 

### Notes pour clarification

 

- **Proto-∆** : non mesurable, pure potentialité d’orientation, ∆θ₀ y est latent.

- **∆ₗ** (verrous spectraux) : moments charnières où ∆θ₀ impose un verrou fondamental (exemple : ∆θ₀·s = π correspond à la lumière ou à une bifurcation de phase).

- **N∆O** : référence locale ; tous les états propres (particules, trous noirs...) sont des configurations stables de ∆θ₀ et des quantités topologiques associées.

- **N∆S** : objets cohérents fondés sur l’interaction de plusieurs N∆O, formant un système stable (pulsar, galaxie...).

- **N∆Λ** : niveau du "processus" : fil causal orienté, impliquant dynamique, évolution ou effondrement.

- **Meta-Λ** : espace des scénarios, superposition ou entrelacs de branches causales, structure à grande échelle ou multivers.

- **Boucle F** : la dynamique ∆ngulaire permet le retour d’information : à chaque verrou spectral atteint, un "recyclage" (généralement via un changement topologique global ou une transition de phase) ramène à Proto-∆ et initie un nouveau cycle.

 

 

 

◽∆θ₀ – SPIN (variation + spectre)

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∆ₗ : verrous spectraux {π, ln 2, 2⁄3, e⁻¹...} harmoniques de structure  

 

N∆O : états propres verrouillés (photons, quarks, trous noirs...), définis par ∆θ₀  

 

ℤₙ : revêtements internes d’un même N∆O classes d’indistinction  

         ℤ₂ → boson / fermion (spin)  

         ℤ₃ → couleur (confinement quarkique)  

         ℤ₄ → arômes / topologies différentielles (interprétation des saveurs)  

 

T(s) : cohérence torsionnelle (stabilité ↔ bifurcation)  

S_eff : entropie orientée (stockage et relâchement d’information angulaire)  

 

Chaîne logique du cadre ∆ngulaire  

----------------------------------

∆θ₀ → verrous ∆ₗ → N∆O → revêtements ℤₙ → observables physiques  

 

Chaque N∆O est une orientation quantifiée dans l’espace de phase ∆ngulaire, stationnaire ou transitionnelle, gouvernée par l’interaction entre T(s) et S_eff(s), sans métrique sous-jacente.  

 

 

> Une particule est un effet de résonance ou de stabilisation autour d’un N∆O donné mais ce nœud peut aussi décrire une structure gravitationnelle, un flux cosmique, ou un état pré-matière.

 

 

Action minimale (proto-forme)  

𝒜[N∆O] = Σ (∆θᵢ)² [ T(sᵢ) + S_eff(sᵢ) ] + ϕ_topo  

 

Conditions de stabilité  

δ𝒜 = 0 ⇒ cycle impair (phase π) ⇒ spin ½  

Verrou spectral : ∆θ₀·s = π ⇒ lumière ou inversion  

 

Hiérarchie naturelle des spins  

– s = 1 , 3/2 , … : cycles k·4π stabilisés par T(s) (k > 1)  

– s = 1/3 , 2/3 : cycles fractionnaires 4π/3 , 8π/3 (connexions triples → quarks)  

 

Validation fonctionnelle  

ζ(½) mesure la densité d’états critiques du graphe N∆O  

ln (sin θ) régularisé capte les sauts de phase ψ(θ+2π)=−ψ(θ)

 

💠 Encart A.2 - Niveaux dynamiques ∆ngulaires (Grille analytique enrichie)

(voir aussi tableau canonique en section A.1)

 

 

### ◽ Tableau des Niveaux ∆ngulaires (version dynamique enrichie)

 

| **Niveau** | **Description concise** | **Exemple physique** | **Verrou dynamique (∆θ₀)** | **Torsion T(s)** |

|----------------|--------------------------------------------------------------------------------------|------------------------------------------|-------------------------------------------|---------------------------------------------|

| **Proto-∆** | Germe d’oscillation brute, ∆θ₀ latent | Pré-Big Bang, champ vide | ∆θ₀ présent mais non encore structurant | T(s)~0, instabilité pure |

| **∆ₗ** | Verrous spectraux critiques (seuils d’orientation stable) | Lumière (∆θ₀·s = π), constantes naturelles | ∆θ₀·s = π, ln 2, e⁻¹, etc. | T(s) faible mais activé (régime seuil) |

| **N∆O** | Nœud d’oscillation verrouillé, état propre | Photon, électron, quark Q³, trou noir | ∆θ₀ fixe, phase verrouillée (ϕ_topo) | T(s) maximal dans le mode stationnaire |

| **N∆S** | Système cohérent multi-N∆O, structure orientée persistante | Pulsar, amas galactique, vortex | ∆θ₀ projecté à l’échelle grand-s | T(s) modulée (harmoniques de cohérence) |

| **N∆Λ** | Branche causale, déploiement dirigé de structures ∆ngulaires | Inflation, effondrement, déplacement BH, Exemple physique : trou noir en migration, anneau photonique variable, collapse lent | ∆θ₀^eff tel que Δθ₀²·r = π | T(s) variable (bifurcation / collapse) |

| **Meta-Λ** | Entrelacs de branches orientées, scénario élargi à l’échelle cosmique | Multivers Arborescent , feuilletages causaux multiples | ∆θ₀ fluctuant ou superposé dans une trame globale | T(s) méta-stable ou résiduelle |

| **Boucle F** | Recyclage des verrous spectraux — retour au Proto-∆ via franchissement topologique | Transition de phase ∆ngulaire globale | ∆θ₀ réinitialisé par ∇∆θ₀ ≠ 0 | T(s) = limite critique → mixage d’états |

 

∆θ₀ est le fil conducteur transversal : chaque niveau ∆ngulaire exprime une forme différente de sa manifestation (latente, verrouillée, projetée, fléchie, entrelacée…).

 

T(s) joue le rôle de régulateur spectral et dynamique de cohérence — son intensité module la permanence ou le basculement entre niveaux.

 

La relation canonique ∆θ₀² · r = π peut être vue comme une condition spectrale effective : elle identifie les zones stables ou critiques dans l’espace ∆ngulaire.

 

Par exemple : si pour un trou noir observé, l’ombre vérifie ∆θ₀² · r = π, alors l’objet se trouve au sommet d’un verrou spectral ∆ₗ ≈ lumière, c’est un point d’inflexion gravitationnel clé.

 

Chaque zone du tableau peut donc être pensée comme une solution locale variationnelle de l’équation pivot :

 

m(s) = (∆θ₀)^α · exp[ - τ̃² / (4 · S_eff(s)) ] · [1 + ε · cos(∆θ₀ · δ · s · T(s))]^β

 

Dans ce cadre, la structure de la réalité ∆ngulaire n’est pas figée : elle est fluide, régie par le couplage ∆θ₀, T(s), S_eff(s) à différentes échelles, à la manière d’un cristal dynamique angulaire — où chaque niveau est une phase topologique émergente cohérente.

 

Proto-∆ → ∆ₗ → N∆O ↔[T(s), S_eff]↔ N∆S → N∆Λ → Meta-Λ →(Boucle F)→ Proto-∆

 

☑ Encart explicatif – Structure physique de l’équation pivot et remarques morpho-topologiques.

 

📌 **Encart - Notes pédagogiques sur l’équation pivot et les structures associées**

 

1. Sur τ — “projection pseudo-temporelle” :**  

Le paramètre **τ** n’est **pas** une coordonnée temporelle classique. Il agit comme une **projection de phase effective**, interprétable comme un **paramètre de déphasage orienté**, interne à la dynamique ∆ngulaire. Il mesure le **décalage d’orientation** au sein d’une configuration, et non un temps d’horloge. Son carré module la compression entropique dans l’action.τ joue donc comme un décalage de frange dans une figure d’interférence : ce n’est pas le temps qui passe, c’est l’angle qui diverge.

 

2. Sur ℤ₄ - classes d’arômes / topologies internes :**  

L’indice ℤ₄ représente **une structure topologique interne**, associée à des **connexions différentielles** (et non un simple étiquetage symbolique). Ces classes émergent de **ruptures fines de cohérence T(s)** - elles définissent des **topologies d’état enroulées**, potentiellement reliées aux saveurs ou "arômes" des quarks.  

→ Ces revêtements (ℤ₂, ℤ₃, ℤ₄) ne sont **pas mesurables directement**, mais sont **détectés par les effets qu’ils induisent** sur le spectre, le spin ou la masse.

 

3. Lecture physique de l’équation pivot (m(s)) :**  

Chaque terme encode une strate distincte de la réalité ∆ngulaire :

 

- **(∆θ₀)^α** : granularité fondamentale, calibre discret — **origine quantique**

- **exp[−τ² / (4·S_eff(s))]** : compression entropique — **dissipation / stabilité**

- **[1 + ε·cos(∆θ₀·δ·s·T(s))]^β** : **oscillateur de cohérence**, activé ou bloqué selon la torsion ∆ngulaire  

→ Ce dernier terme agit comme une serrure dynamique :  

Verrouillé (cos = ±1) ⇒ stabilité maximale ;  

Déphasé (cos < 1) ⇒ régime transitoire ou instable.

 

 :

 

### ❇️ Verrou π — Seuil topologique vers Q⁰ (∅T)

 

**Définition ∆ngulaire**  

> **∆θ₀ · s = π**  

→ Verrou spectral critique : dernière boucle orientée permise avant collapse.  

→ Seuil d’**inflexion ∆ngulaire**, bloquant toute bifurcation d’orientation.

 

**Interprétation**

 

- **Physique classique** :  

  - Dernier rayon de lumière stable (light-ring)  

  - Ombre gravitationnelle, anneau photonique extrême  

  - Proches de : M87\*, Sgr A\*, GRB exceptionnels

 

- **Théorie ∆ngulaire** :  

  - **Verrou π** marque l'entrée dans l'état **Q⁰**  

  - **Phase gelée, torsion nulle : T(s) → 0**  

  - Aucun couplage oscillatoire ∆θ₀·T(s) possible  

  - L’équation pivot devient une forme **stationnaire scalaire figée**

 

### 🔒 Transition → *Équation C∆GE⁽Q⁰⁾ activée*

 

> C∆GE⁽Q⁰⁾(s) = mₑ · (∆θ₀)² · exp[ - τ̃² / (4·s²) ]

 

- ∆θ₀ : gel d’orientation (valeure verrouillée)

- τ̃ : projection résiduelle de phase (mémoire ∆ngulaire)

- T(s) = 0 —— toutes bifurcations ∆θ₀ éteintes  

- ⇒ **État Q⁰ : figé, non métrique, non rayonnant**

 

**Lecture physique**

 

- Blocage total de ∇∆θ₀ : plus de dynamique directionnelle  

- Q⁰ = **nœud ∆ngulaire compact**, **non singulier**, mais **sans retour de phase**

- Correspond à un **trou noir ∆ngulaire stable** sans horizon d’évaporation  

  (≠ BH classique de GR avec T_H ≠ 0)

 

**Hypothèse de libération post-effondrement**  

 

- Dans certains cas : **résidu scalaire relâché** (Δϕ_topo ≠ 0)  

- ⚡ Interprétation possible pour certains GRB / jets extrêmes  

  → ex. **GRB 221009A**, comme sursaut de dégel topologique ponctuel.

 

**Résumé terminal**

 

> Le **Verrou π** déclenche une transition ∆ngulaire absolue vers Q⁰.  

 

> La **forme figée de l’équation pivot**, **C∆GE⁽Q⁰⁾**, décrit un état sans oscillation ni dissipation, stabilisé uniquement par mémoire entropique.  

 

> L’objet n’est pas une singularité relativiste, mais une **condensation ∆ngulaire terminale**, close sur elle-même via (T = 0, ∇∆θ₀ = 0, ϕ_topo constant).

 

 

❇️ Lumière : Émergence d’une propagation orientée  

 

→ La lumière n’est pas une onde : c’est un **saut ∆ngulaire fondamental**, la plus petite propagation possible d’un front d’orientation cohérent.

 

∆ngular Theory - verrou fondamental par ∆θ₀,

 

→ Une propagation orientée comme origine de c, ħ, G, α (versions A & B)

 

Version A - Dérivation ontologique fermée

 

Postulats internes (aucune constante externe) :  

• Invariant fondamental : ∆θ₀ = 5.68 × 10⁻¹² rad    

• Axiome de propagation orientée : ω · ∆θ₀ = 1 ⟹ ω = 1 / ∆θ₀    

• Vitesse-frontière (lumière) : c = ω = 1 / ∆θ₀  

Validation expérimentale (précession de Larmor, B = 1 T) :    

 ω_L = 1.76 × 10¹¹ rad/s    

 ω_L · ∆θ₀ ≈ 0.99968 (écart < 0.04 %)  

Aucune constante SI n’est injectée (ni ħ, ni c, ni G, ni e) — tout émerge de ∆θ₀ seul.  

Version B — Projection phénoménologique (pont SI)

 

• Constante ancrée : c = 2.997 924 58 × 10⁸ m/s  

• Quantum temporel dérivé : ∆τ₀ = ∆θ₀ / c  

• Reconstruction des constantes fondamentales :  

  ħ = f(∆θ₀, c, α, mₑ, …)  

  G = g(∆θ₀, ħ, …)  

  α = h(∆θ₀, N)

La structure reste sans paramètre libre : les constantes sont recalculées, pas posées.

Résumé conceptuel

 

∆θ₀ verrouille le lien entre orientation et propagation.  

La lumière est la propagation minimale d’un front de phase (tick = ∆θ₀).

• Version A : c' est prédit depuis le cadre discret pur.  

• Version B : c sert de repère métrique externe pour dialoguer avec le SI.

 

📌Note méthodologique — Spin de l’électron et validation ∆ngulaire de ω

 

La fréquence ω_L de Larmor (≈ 1.76 × 10¹¹ rad/s) est utilisée ici comme point de calibration expérimentale indirecte pour vérifier la cohérence de la relation ∆θ₀ · ω = 1.

Cependant, le spin ½ de l’électron impliqué dans ce calcul n’est pas postulé dans le cadre ∆ngulaire.

 

Il émerge topologiquement à partir du module N∆Graph :

– boucle impaire de 3 nœuds orientés (structure minimale),

– condition de verrouillage ϕ_topo = π,

– variation angulaire δ𝒜 = 0 ⇒ stabilité appelée “spin ½”.

 

◽ L’usage de ω_L dans cette section suppose donc que ce verrou topologique (spin ½) est déjà dérivé ailleurs dans le modèle.

Il s’agit d’une résurgence ∆ngulaire, non d’un axiome quantique.

 

Nous ne postulons pas que l’électron possède un spin ½ : nous montrons qu’il n’a d’autre choix que de tourner à mi-phase dans la boucle angulaire qu’il occupe : 

∆θ₀ → Graphe 3-nœuds → Spin ½ → ω_L → Propagation → c