Одне геометричне місце точок, яке пов'язане з операціями над відстанями

Одним із завдань диференціальної геометрії є вивчення кривих, особливо тих, визначення яких пов'язані з діями над відстанями. У загальному вигляді задачу дослідження таких геометричних місць точок можна сформулювати так: дослідити геометричне місце точок M деякого метричного простору, для яких результат виконання заданої операції над відстанями до кількох підмножин цього простору є заданою функцією від точки M. У статті розглядається двовимірний евклідів простір і дві точки як його підмножини, операція над відстанями є операцією множення, функція точки є сталою величиною. Метою статті є розгляд методу дослідження геометричного місця точок на площині з постійним добутком відстаней до двох нерухомих точок (овалів Кассіні).

Потужним методом вивчення геометричних місць точок є метод координат (складають рівняння шуканого геометричного місця точок, за допомогою рівняння проводиться дослідження). У статті продемонстровано такий підхід до дослідження овалів Кассіні: знайдено різні форми рівняння кривої, опорні елементи кривої (точки перетину з осями, точки екстремуму і точки перегину в залежності від параметрів, що входять у рівняння кривої). Важливим і доцільним у дослідженні кривих є вивчення поведінки кривої в околі окремих точок. Ми пропонуємо досліджувати поведінку овалів Кассіні поблизу деякої точки шляхом розкладу правої частини рівняння кривої у ряд.

Під час дослідження встановлено, що: 1) поблизу точки, досліджувана крива наближена до гіперболи; 2) поблизу точки досліджувана крива наближається до еліпса; 3) поблизу точки максимуму досліджувана крива близька до лінії, заданої рівнянням 4) поблизу x = 0, лемніската Бернуллі при, близько до кривої. Цей метод дослідження кривих доцільно використовувати при дослідженні інших кривих.

Запропонована у роботі методика дослідження геометричного місця точок площини, для яких є сталими добуток відстаней до двох заданих точок (овали Касінні), дозволить вивчати геометричні місця точок, які пов’язані з операціями над відстанями.

Описану методику дослідження доцільно використовувати під час вивчення геометричних місць точок площини, зокрема тих, які пов’язані з операціями над відстанями. Для дослідження кривих варто знаходити опорні елементи кривої та вивчати будову кривої в околі тієї чи іншої точки. Відкритими є питання дослідження геометричних місць точок площини, для яких є сталими відповідно сума, добуток відстаней до трьох заданих точок тощо.