Tracce della funzione zeta di Riemann sul piano complesso.

In questa revisione v8, oltre ad alcune precisazioni ho aggiunto la sezione 12. In questa sezione descrivo un metodo per individuare le ultime origini; funziona con qualsiasi valore di (b) diverso da 0.

Data ad esempio la formulazione $\zeta(s)=\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^s}$ ad ogni incremento di $n$ viene definito un punto sul piano complesso, le tracce in questione sono formate dai vettori che collegano questi punti.

Le tracce risultanti sul piano complesso dalla funzione zeta di Riemann, si possono dividere in due parti.

Nella prima parte delle tracce è fondamentale porre l'attenzione sui punti iniziali e finali dei vettori; nella seconda parte è fondamentale porre l'attenzione sulle due origini di particolari spirali poligonali, che io chiamo "pseudo-clotoidi".

Tutte le tracce iniziano dall'origine del piano complesso, la prima parte delle tracce tende ad allontanarsi dall'origine; si sviluppa in modo contorto raggiungendo distanze variabili.

Le due parti si comportano come due bracci, di un meccanismo che li fa ruotare entrambi ma in modo indipendente ed in senso orario; la cerniera dalla quale inizia la rotazione del secondo braccio, si trova nel punto di giunzione con il primo.

La rotazione dei due bracci porta ciclicamente l'estremità libera del secondo braccio, a passare dove si trova l'origine del piano complesso; ma solo ad una condizione la intercetta.

La condizione è che le due parti della traccia si debbono compensare; in questo articolo metto in evidenza come avviene la compensazione, tra le due parti della traccia.

Dato un numero complesso (s) chiamo (a) la parte reale e (b) il coefficiente della parte immaginaria; quindi s=a+b*i.

Il valore di (b) è il motore delle rotazioni; solo se a=1/2, il valore di (b) risulta neutro nei confronti delle distanze tra le due origini, delle pseudo-clotoidi.