La méthode de Neumann et le problème de Dirichlet

Nous savons que la méthode dite du balayage permet de démontrer le principe de Dirichlet dans le cas général. ¶ Mais si cette méthode est très-bonne comme procédé de démonstration, elle est inférieure comme procédé de calcul à celle de Neumann . Celle-ci malheureusement n'était jusqu'ici applicable qu'aux surfaces convexes. ¶ En m'appuyant sur le principe de Dirichlet supposé démontré par la méthode de balayage, j'ai montré que la méthode de Neumann (de même que celle de Robin ) conduit à la solution du problème de Dirichlet aux conditions suivantes: Si la surface S est simplement connexe. Si cette surface a partout un plan tangent et deux rayons de courbure principaux déterminés. Si la fonction donnée Φ a des dérivées de tous les ordres. ¶ Toutes ces restrictions sont probablement inutiles et tout porte à penser que le théorème est vrai dans tous les cas. Mais je ne l'ai démontré qu'avec ces restrictions. ¶ Après avoir établi ces résultats d'une façon rigoureuse, j'ai cru devoir dans les deux derniers chapitres, donner une idée des aperçus qui m'avaient d'abord conduit à les deviner. J'ai pensé que, malgré leur peu de rigueur, ils pouvaient être utiles comme procédés d'investigation, puisque je m'en étais déjà servi une fois avec succès.