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Paralelización de la detección de una matriz copositiva mediante la evaluación de las facetas de un simplex unidad

J.M.G. Salmerón; L.G.Casado; Eligius M.T. Hendrix

El problema de encontrar el mı́nimo de un problema de optimización cuadrática estándar permite determinar cuando la matriz simétrica involucrada en la formulación es copositiva. El espacio de
búsqueda del valor mı́nimo se realiza en un simplex unidad. Recientemente se ha desarrollado un algoritmo que evalúa las facetas de un simplex unidad para determinar si la función cuadrática es positiva en una faceta. Se desarrollaron diferentes tests para descartar facetas de la búsqueda donde se puede verificar que la función cuadrática es positiva o para reducir la dimensión de una faceta al ser la función cuadrática monótona en ella. Para una matriz simétrica de dimensión n, el simplex unidad tiene 2^n − 1 facetas por lo que su número crece exponencialmente con n. Aun-
que los test mencionados permiten reducir el número de facetas a evaluar, este número puede ser muy elevado para algunas matrices copositivas. Debido a que la evaluación de una faceta puede realizase de forma independiente de la evaluación de otra faceta, este problema es un buen candidato a ser resuelto de forma paralela. En la paralelización del algoritmo hay que tener en cuenta que varias facetas comparten subfacetas que no deben ser evaluadas si se probó que la
función cuadrática es positiva en al menos una de las facetas padre. En este estudio se muestra una posible implementación paralela teniendo también en cuenta un uso eficiente de la memoria.

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