Decaimento Combinatório de Dígitos de Unidade e de Dezena em Loterias: Distribuição Exata por Inversão de Möbius, Janelas de Ciclo, Auditoria i.i.d. com Calibração por Monte Carlo e Montagem Verificada de Cartelas.

Apresentamos o SubSet Digit , aplicação autocontida em HTML/JavaScript (v2.7.1) que descreve, com matemática exata, como os dígitos de unidade (n mod 10) ou dezena ([n/10]) dos números sorteados serão cobertos ao longo dos concursos.

Um subconjunto é um conjunto de k dígitos diferentes (1 ≤ k ≤ 8), escolhido entre os c ≤ 10 valores possíveis (0–9 na unidade; 0–5 na dezena da Mega-Sena, etc.), e é coberto num sorteio quando ao menos m dos seus dígitos aparecem, com 1 ≤ m ≤ min(k, d).

O trabalho tem seis contribuições formais.

(i) Deduzimos, por inversão de Möbius sobre o reticulado booleano das classes de dígitos, a distribuição exata do conjunto de dígitos presentes num sorteio sem reposição (Proposição 3.1) e, dela, a probabilidade exata pK de cobertura de cada sub-conjunto, com forma fechada por inclusão–exclusão para m = k (Corolário 3.2); mostramos que o modelo de dígitos independentes com reposição, usado em planilhas, é sistematicamente impreciso (por exemplo, seis dígitos de unidade diferentes têm probabilidade exata de 19,5705%, contra 15,12% do modelo com reposição).

(ii) Provamos que E[A(t)] = ∑ K(1 − pK)^t exatamente, flexíveis-se a A0e^−λt quando os pK coincidem, e que o tempo de ciclo não segue a fórmula do colecionador de cupons, por os cupons serem conjuntos (um sorteio de cobre vários subconjuntos de uma vez); obtemos o valor exato de E[T] para k = 1 (Proposição 3.8).

(iii) Formalizamos a matriz de janelas As(t) (O(nA0)) e provamos a estacionariedade de sua esperança (Proposição 4.2).

(iv) Provamos que, sob a hipótese iid, o excesso de acertos de qualquer regra de seleção construída apenas com o passado é uma diferença de martingale, o que fundamenta o teste walk-forward do software (Proposição 5.4), e calibramos por simulação (1 000 históricos de 2 000 sorteios) a taxa de falso positivo dos testes: 5,0% para o walk-forward do ranking, 3,7%–5,8% para a auditoria iid, contra o nominal de 5%.

(v) Descrevemos e provamos propriedades do Montador: enumeração de multiconjuntos de dígitos, perfil exato por grau (Proposição 7.2), invariância do retorno esperado entre quaisquer conjuntos de cartelas (Proposição 7.3), gerador de cobertura “t se s” com restrição de estrutura por multiconjunto (v2.7) e o código ternário de 73 padrões, cuja cobertura de todas as 3^6 = 729 palavras é verificada exaustivamente.

(vi) Documentamos a arquitetura, a reprodutibilidade (SHA-256 do arquivo, semente, retrato dos parâmetros), o autoteste e o histórico de 2.0 a 2.7.1.

Enfatizamos, de forma explícita e reiterada, que sorteios de loteria são processos iid: o software é uma ferramenta descritiva, diagnóstica e educacional; nenhuma pontuação, ranking, fechamento ou sugestão de dígitos conferem vantagem preditiva, e a falácia do apostador não encontra amparo em nenhuma formulação aqui apresentada.