Zb058 · 临界距离与奇点的重述:两个下界、一个离散谱、以及视界的记账位置

本篇**不引入度规**,只把库里已有的三件东西摆在一起,看它们各自给出什么界: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{长度下界}:\ \text{几何间距}\ a;\quad \text{波的分辨率}\ \lambda_{\min}=2a;\\ &\textbf{势差单调}:\ \Delta\varphi(d)=d\cdot x\ (1\text{D},\ \text{累积荷});\\ &\textbf{曲率离散}:\ \delta_k=2\pi-k\theta,\qquad \delta_k>0\iff k\in\{3,4,5\}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **五条正面结果**: 1. **半径有下界(定理 1.2)**:舞台上的**几何**半径(格点间距)最小是 $a$,故 $r\to0$ 这一极限不在模型的定义域内;波/场能分辨的长度下界是 $2a$。奇点问题在本库里的写法是"最小尺度处发生了什么"。 2. **临界距离(定理 2.2)**:把势差读作信号的"预算"时(结构选择 I),1D 链上能到达的最大步数为 $d_c=2c/x\propto1/x$($x$ 为源强)。 3. **曲率的离散谱(命题 3.2)**:沿棱的缺陷角只能取 $\{2\pi-k\theta\}$,故曲率取值是离散集;三维的正曲率窗口是 $k=3,4,5$。 4. **四维的窗口(命题 3.4)**:正则 $4$-单纯形的二面角是 $\arccos\frac14=75.5225^\circ$,故四维的正曲率窗口是 $k=3,4$($2\pi/\theta_4=4.7668$,非整数 ⟹ 正则复形无平坦成员)。 5. **有界要"有限"这个前提(命题 3.3)**:$|\delta_k|$ 本身无界;界来自"舞台有限 ⟹ $k\le\#(\text{四面体})$"。离散性给"一列值",有限性才给"有界"。 **一处记账**:「势差读作频率预算」是**结构选择(I)**;视界的建立需要把 Zb015 的号差结构用到具体解上,记为**开放(背靠 Zb015 定理 2.2)**。 ---