Zb015 · 时空动态与四维 Lorentzian:ADM 分解、号差、静态性的对称判据

本篇把"四维时空"从口号变成三个可算的部件: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{ADM}: \ g=-N^2dt^2+h_{ij}(dx^i+\beta^idt)(dx^j+\beta^jdt);\\ &\textbf{号差}: \ h\ \text{正定}\Longrightarrow\operatorname{sign}g=(1,3)\quad(\text{恒等式});\\ &\textbf{静态判据}:\ \text{时间平移不变}+\text{解唯一}\Longrightarrow\text{解与 }t\ \text{无关}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **四条正面结果**: 1. **ADM 号差定理(定理 2.2)**:只要空间度规 $h$ 正定,ADM 度规的号差恒为 $(1,3)$,与 $N$、$\beta$ 的取值无关。 2. **静态判据(命题 6.1)**:若方程与源都不含时间、且解唯一,则解不随时间变化。 3. **粒子驱动(命题 6.2)**:源的时变是"时空动态"的唯一来源;源不变时,解静态。 4. **三件套是一个对象 + 动态扇区计数(§3)**:$(N,h_{ij},K_{ij})$ 是同一个边权场的三种投影——$N$ 是局部格距(命题 3.2)、$K$ 是边权的步导数(命题 3.3)、TT 自由度是保体积的各向异性调制(命题 3.4)。故 GR 的这些组件不必逐个重建。 **两处记账**:把时间当作切片参数($t$ 的纤维化)是**结构选择(I)**;$N$、$\beta$ 是**解**而不是约定(推论 2.3 说明号差不依赖它们,故它们承载的是动力学而非符号选择)。 ---