Zb005 · 桥与单位:格点色散、频率↔波长、唯一锚

本篇给出三样被 G、Q、S 三块反复引用的东西:**格点上的色散**、**频率到波长的逆映射**、**单位记账**。 $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{色散}:\ \omega^2=c^2\lambda(q),\quad \lambda(q)=4\sin^2\!\frac q2;\\ &\textbf{逆映射}:\ q(f)=2\arcsin\dfrac{f}{2c}\quad(|f|\le2c);\\ &\textbf{上限}:\ \omega_{\max}=2c\ \text{(每步位移)},\quad\text{长波极限}\ \omega\simeq cq;\\ &\textbf{锚}:\ \text{有量纲量}=c_X\,a^{\,n};\quad \text{同量纲比值是纯数};\quad \text{第二个锚}=一个登记的无量纲比. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **四条正面结果**: 1. **色散关系(定理 2.2)**:周期链上的波的每个模按 $\omega^2=c^2\cdot4\sin^2(q/2)$ 振荡。 2. **频率↔波长一一对应(定理 3.2)**:在 $0<f<2c$ 上逆映射存在且唯一,并给出长波极限与上限。 3. **输出全是纯数(命题 4.2)**:结构输入不含量纲,故一切输出是实数;有量纲量一律是"锚的幂 × 纯数"。 4. **单锚与"单位 vs 测量"(定义 4.3/4.4、命题 4.5)**:给出锚的定义与一条判据——**换一次单位能变成 $1$ 的是单位,否则是测量**。本库里 $c,\hbar$ 是单位,$v$ 是唯一的测量;且候选锚两两之比皆纯数,故至多一个独立标度。 ---