Zb004 · 守恒与流:离散连续性方程、整数流与交换输运

本篇把「守恒」写成一条**精确的整数恒等式**,并把「流」立成边上的对象: $$ \boxed{\;\begin{aligned} &\textbf{连续性}\quad x(\tau)-x(0)=Bf,\qquad f\in\mathbb Z^{E};\\ &\textbf{守恒}\quad Q=\mathbf 1^{\mathsf T}x\ \text{对一切历史不变};\\ &\textbf{守恒泛函}:\ c^{\mathsf T}x\ \text{守恒}\iff c\in\operatorname{span}\{\mathbf 1\};\\ &\textbf{状态函数}:\ E\ \text{守恒}\iff E\equiv\text{常数}\ (\text{连通可达集上});\\ &\textbf{交换输运}\quad J_{ij}=K_{ij}(\varphi_i-\varphi_j)\ \text{是同一守恒律的流}. \end{aligned}\;} \tag{0.1} $$ **五条正面结果**: 1. **连续性方程(定理 2.2)**:净荷变化恰等于关联矩阵作用在边净流上;由此 $Q$ 守恒,且流是整数。 2. **整数可达(定理 3.1)**:零和的整数分布之间,存在**整数**流把它们连起来。证明用生成树显式构造。 3. **守恒泛函唯一(定理 4.2)**:线性守恒量只有 $Q$ 的倍数一个方向。 4. **守恒的状态函数只有常数(定理 5.1)**:连通可达集上,"沿一切历史守恒"$\iff$"恒为常数"。故非平凡守恒的状态函数不在候选集里——"没有能量这个守恒量"是连通性加全移动可用的直接后果。 5. **交换输运(命题 7.2、7.3)**:由势差驱动的流自动守恒,且是交换能量的梯度流。 **范围**:本篇的流是**边上的量**(取 $E$ 指标);把边流读成逐点密度需要边—顶点的配对,本篇不设该配对,故全部守恒结论都在**总量**层面。 ---