In a Circle Where Every Second Person Leaves, the Last Seat Is the Head Count with Its Leading Binary 1 Moved to the End ── Removing every third person there is no short form like the binary rotation, and the parity of the last seat splits half and half ── the separator is how many are skipped ── [Paper 614]

n people sit in a circle in the order 1 to n; counting from seat 1, every k-th person leaves the circle. Which seat is left last (the Josephus problem)? For every second (k=2) and every third (k=3) person, the result of actually running the circle is matched with the formula. No new theorem or law is claimed.

Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed: the binary formula for removing every second person and the recurrence for general k are known (found, for example, in the book by Graham, Knuth and Patashnik and in Ball and Coxeter). Asymptotic formulas for general k are not treated: only k=2 and k=3 are counted. The historical legend is not discussed: the pair of 41 people and k=3 is used only as an example to check numbers. Relation to earlier papers: Paper 602 decided who wins at Nim by addition without carries, and Paper 608 counted the odd numbers in Pascal's triangle by the ones in a binary numeral. Here too binary digits decide the answer, appearing as a different operation: moving the leading 1 to the end. What is added is matching the circle with the formula up to 1024 people, explaining why the rotation holds at the moment the count falls to 2^m, and placing the separator on how many are skipped, showing in numbers that for k=3 there is no such short form and the parity bias disappears.

First, removing every second person, the last seat is a binary rotation: writing n in binary and moving its leading 1 to the end gives the last seat. For every n from 1 to 1024 this agreed with running the circle. For 41 people 101001 becomes 10011, seat 19; for 100 people, seat 73; for 1000, seat 977 (Section 2).

Second, removing every second person, the last seat is always odd: the rotated number always ends in 1, and all 1024 cases were odd. When the head count is a power of 2, the rotation returns 1 and seat 1 remains (Section 2).

Third, and this is the core. The circle that removes every second person is a binary operation that halves the head count each round: with n=2^m+L, once L people have left, 2^m remain, and the seat where counting resumes, 2L+1, is the one left last, because in a circle of 2^m each round removes half and the starting seat keeps surviving (Section 3).

Fourth, the separator is how many are skipped: removing every third person (k=3) there is no short form like the binary rotation, and the answer comes from a recurrence that removes one person at a time or from a closed formula using a constant. For every n from 1 to 1000 the circle and the recurrence agreed, and for 41 people the last two were seats 16 and 31. The last seat was even for 500 of the 1000 head counts, so the odd bias disappears (Section 4).

Removing every second person from a circle of n, the last seat is n written in binary with its leading 1 moved to the end. Up to 1024 people this agreed with actually running the circle: seat 19 for 41 people, 977 for 1000; the last seat is always odd, and seat 1 when the head count is a power of 2. The circle removing every second person is a binary operation that halves the head count each round: with n=2^m+L, once L have left, 2^m remain, and seat 2L+1, where counting resumes, stays to the end. The separator is how many are skipped: removing every third person there is no such short form, and the recurrence agreed up to 1000 people; the parity bias disappears too, with 500 of 1000 last seats even. Placed among the earlier papers: as in Papers 602 and 608 binary digits decide the answer, here appearing as a rearrangement. To be honest: neither asymptotic formulas for general k nor the historical legend are entered; only k=2 and 3 were counted.

On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated.

Keywords: Josephus problem, binary representation, recurrence relation, elimination circle, recursion.

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n 人が 1 から n の番号順に輪になって座り、1 番から数えて k 人目ごとに輪から外れていく。最後に残る席は何番か(ヨセフスの問題)。一人おき(k=2)と二人おき(k=3)で、輪を実際に回した結果と式を突き合わせる。新しい定理も法則も主張しない。

本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない。一人おきの場合の二進法の式と、一般の k の漸化式は、いずれも既知である(グラハム、クヌース、パタシュニクの本、ボールとコクセターの本などにある)。一般の k の漸近式は扱わない。 k=2 と k=3 の二つだけを数える。伝承の史実は論じない。41 人と k=3 の組は、数を確かめる例として使うだけである。既刊との関係:論文602 はニムの勝ち負けを繰り上がりのない足し算で、論文608 はパスカルの三角形の奇数を二進法の 1 の数で示した。本稿でも答は二進法の桁で決まり、先頭の 1 を末尾へ回すという別の操作として現れる。加えたのは、1024 人までで輪を回した結果と式を突き合わせたこと、回転の式がなぜ成り立つかを、2^m 人に減った時点で説明したこと、分離子を「何人おきか」に置き、k=3 では二進法の回転のような短い形が無く偶奇の偏りも消えることを数で示したことである。

第一に、一人おきなら、残る席は二進法の回転で決まる。 n を二進法で書き、先頭の 1 を末尾へ回した数が、最後に残る席である。 n=1 から 1024 のすべてで、輪を回した結果と一致した。41 人なら 101001 が 10011 になって 19 番、100 人なら 73 番、1000 人なら 977 番である(第2節)。

第二に、一人おきでは、残る席はいつも奇数である。回した数の末尾はいつも 1 だからで、1024 通りすべてで奇数だった。人数が 2 の冪なら、回しても 1 に戻り、1 番が残る(第2節)。

第三に、これが本稿の芯である。一人おきの輪は、一周ごとに人数を半分にする二進法の操作である。 n=2^m+L のとき、L 人を外した時点で残りは 2^m 人になり、次に数え始める席 2L+1 がそのまま最後に残る。2^m 人の輪では、一周ごとに半分が外れて最初の席が生き残り続けるからである(第3節)。

第四に、分離子は、何人おきに除くかである。二人おき(k=3)では、二進法の回転のような短い形は無く、一人ずつ減らす漸化式か、定数を使う閉じた式で出す。 n=1 から 1000 のすべてで、輪を回した結果と漸化式が一致し、41 人では最後の二人が 16 番と 31 番だった。残る席が偶数になる人数は 1000 のうち 500 で、奇数の偏りは消える(第4節)。

n 人の輪から一人おきに外していくと、最後に残る席は、n を二進法で書いて先頭の 1 を末尾へ回した番号である。1024 人まで、輪を実際に回した結果とすべて一致した。41 人なら 19 番、1000 人なら 977 番で、残る席はいつも奇数、人数が 2 の冪なら 1 番である。一人おきの輪は、一周ごとに人数を半分にする二進法の操作である。 n=2^m+L なら、L 人外した時点で 2^m 人になり、次に数え始める 2L+1 番が最後まで残る。分離子は、何人おきに除くかである。二人おきでは二進法の回転のような短い形が無く、漸化式は 1000 人まで一致した。残る席の偶奇の偏りも消え、1000 のうち 500 が偶数だった。既刊との位置:論文602・608 と同じく二進法の桁が答を決めるが、ここでは並べ替えとして現れる。正直に言えば、一般の k の漸近式にも伝承の史実にも入らず、k=2 と 3 を数えただけである。

作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

キーワード:ヨセフスの問題、二進法、漸化式、除去の輪、再帰。