Palabras de Grundy en las órbitas de Collatz. Un lenguaje de tipo finito y el árbol inverso de 1

Se leen los valores de Grundy del juego de Collatz con atajo, recogidos en la OEIS como A400826, a lo largo de las órbitas de la función ordinaria de Collatz, y se estudia el conjunto de palabras de longitud k que se obtienen. El factor 00 solo aparece en el paso 1 → 4. Las palabras que no lo contienen son exactamente las que evitan 00, 11, 12, 22 y 202. Forman un lenguaje de tipo finito, reconocido por un autómata de siete estados cuyas transiciones corresponden a los exponentes entre impares consecutivos, y su número es a(k+2), donde a es la sucesión A097333, que cumple a(n) = a(n−1) + a(n−3). La demostración combina ese autómata con la realización aritmética de cualquier sucesión finita de exponentes entre impares, y cada una de esas palabras aparece en una clase residual de densidad positiva. Las palabras que contienen 00 están formadas por la palabra de un número que llega a 1 en exactamente p pasos, seguida de la del ciclo trivial. La complejidad total es, por tanto, a(k+2) más la suma de los B(p) con p ≤ k−2, donde B(p) cuenta las palabras distintas de los números con tiempo total de parada p. Esta segunda parte depende del árbol inverso de 1; se calcula exactamente hasta p = 40 y no se conoce para ella una fórmula cerrada. Ningún resultado depende de la conjetura de Collatz.

Se acompaña del programa en Python verificar_palabras_grundy.py, con aritmética entera exacta, y de su salida.