Complejidad de factores de la sucesión de valores de Grundy del juego de Collatz con atajo. Una fórmula exacta para todas las longitudes

Se estudia la complejidad de factores de la sucesión de valores de Grundy del juego de Collatz con atajo, recogida en la OEIS como A400826. La sucesión es la función aritmética definida en todos los enteros positivos por la fórmula cerrada de los valores de Grundy, sin hipótesis de terminación, y los resultados no dependen de la conjetura de Collatz. Salvo en el primer término y en las potencias de dos, la sucesión coincide con una recodificación por bloques de longitud dos de la sucesión de duplicación de periodo, cuya complejidad es conocida (Poláková). Los factores de frecuencia positiva son exactamente los de esa sucesión auxiliar. Los demás tienen frecuencia cero y proceden de dos familias: las ventanas que contienen una potencia de dos grande y las ventanas iniciales. Se clasifican ambas familias y se obtiene una fórmula exacta para la complejidad en todas las longitudes. Cuando la longitud es una potencia de dos, a partir de cuatro, el número de factores distintos es cuatro veces la longitud. Entre dos potencias de dos consecutivas, la complejidad viene dada por dos expresiones lineales, una en cada mitad del intervalo. Para cada longitud se determina también cuántos factores tienen frecuencia positiva y cuántos frecuencia cero. El registro incluye un programa en Python que comprueba numéricamente los resultados.