Deriving the Bertrand--Chebyshev Bound from Sieve Dynamics

Description

Abstract (Polish)

Niniejsze zgłoszenie zawiera preprint pt. 
„Wyprowadzenie granicy Bertranda–Czebyszewa z dynamiki sitowej”.
Dokument przedstawia rekonstrukcję granicy typu Bertranda w ujęciu sitowym,
wyjaśniając jej pochodzenie jako konsekwencję strukturalnych własności procesu
eliminacji wielokrotności, a nie oszacowań analitycznych.

Poniżej zamieszczono pełny abstrakt pracy.

---

Twierdzenie Bertranda-Czebyszewa mówi, że dla każdej liczby naturalnej 
$n>1$ w przedziale $(n,2n)$ istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza. 
Znane dowody tego faktu, w tym dowód Erdősa oparty na analizie 
współczynników dwumianowych, potwierdzają istnienie tej granicy, lecz nie 
opisują mechanizmu, który czyni jej pojawienie się nieuniknionym.

Celem niniejszego opracowania jest przedstawienie ujęcia sitowego, w którym 
granica Bertranda--Czebyszewa wynika bezpośrednio z własności procesu 
eliminacji wielokrotności. Konstrukcja opiera się na rozróżnieniu dwóch 
niezależnych etapów: 
(i) pojawiania się nowych liczb pierwszych jako elementów eliminujących 
oraz 
(ii) pojawiania się ich wielokrotności w kolejnych krokach sitowania. 
Wzajemne położenie tych dwóch zjawisk prowadzi do wyznaczenia punktu, w 
którym proces eliminacji nie może pokryć całego rozważanego przedziału, co 
wymusza istnienie liczby pierwszej.

Opracowanie to nie zastępuje klasycznych dowodów twierdzenia 
Bertranda--Czebyszewa; ma ono na celu wyjaśnienie pochodzenia samej 
granicy, pokazując, że wynika ona z elementarnych własności działania 
sita, a nie z zewnętrznego założenia czy dodatkowej struktury.

Technical info (English)

What is corrected from v2:

Version 3 — formally verified (October 2026)
Revised after a review of all my Zenodo records against the standard of Lean 4 verification. The generative sieve of this paper is now part of my project StructuralSieve GitHub/StructuralSieve, part of the larger Structural Window project, where the whole chain is machine-checked in Lean 4 / Mathlib with no sorry. Each statement of the paper is linked to its Lean theorem at StructuralSieve commit 716674e.

Version 2 — corrected (June 2026)

This version corrects a logical flaw in the original proof (v1, December 2025).

What was wrong in v1: Section 5 introduced a prime q ∈ (P, 2P] to derive a contradiction, but this assumed the existence of the very object whose existence was to be proved (circular reasoning).

What is new in v2:

• Structural Weight Lemma (Lemma 2): proves by induction that P·φ(M)/M ≥ 1 for every prime base, providing an independent lower bound on uncovered elements.
• Static window argument: the base is frozen for one step to compute the structural weight without assuming any new prime exists.
• Section 5 rewritten: the existence of an uncovered element follows from the weight bound alone, with no circularity.
• Remark on truncated arithmetic added: illustrates why removing a prime from an interval with weight = 1 stalls the process, while weight > 1 provides redundancy.

Technical info (Polish)

Co poprawiono względem v2:

Wersja 3 — zweryfikowana formalnie (październik 2026)
Poprawiona po przeglądzie wszystkich moich rekordów na Zenodo pod kątem weryfikacji w Lean 4. Sito generatywne z tej pracy jest teraz częścią mojego projektu StructuralSieve GitHub/StructuralSieve, części większego projektu Structural Window, gdzie cały łańcuch jest sprawdzony maszynowo w Lean 4 / Mathlib bez sorry. Każde stwierdzenie pracy jest powiązane z twierdzeniem Lean w commicie 716674e projektu StructuralSieve.

Wersja 2 — poprawiona (czerwiec 2026)

Niniejsza wersja koryguje błąd logiczny w oryginalnym dowodzie (v1, grudzień 2025).

Co było błędne w v1: Sekcja 5 wprowadzała liczbę pierwszą q ∈ (P, 2P] w celu wyprowadzenia sprzeczności, zakładając tym samym istnienie dokładnie tego obiektu, którego istnienie miało zostać udowodnione (rozumowanie kołowe).

Co jest nowe w v2:

• Lemat o wadze strukturalnej (Lemat 2): dowodzi przez indukcję, że P·φ(M)/M ≥ 1 dla każdej bazy liczb pierwszych — niezależne dolne ograniczenie na liczbę elementów niepokrytych.
• Argument statycznego okna: baza jest zamrażana na jeden krok w celu obliczenia wagi strukturalnej bez żadnego założenia o istnieniu nowych liczb pierwszych.
• Sekcja 5 przepisana: istnienie elementu niepokrytego wynika wyłącznie z ograniczenia wagowego, bez kołowości.
• Dodana Uwaga o obciętej arytmetyce: ilustruje, dlaczego usunięcie liczby pierwszej z przedziału o wadze = 1 zatrzymuje proces, podczas gdy waga > 1 zapewnia nadmiarowość.