Décalages spectraux et robustesse sous pilotage dynamique dans qBounce sous un ansatz de torsion phénoménologique (v2)

Décalages spectraux et robustesse sous pilotage dynamique dans
qBounce sous un ansatz de torsion phénoménologique (v2)

Malcor Éric Franck Marc
Pre-print Zenodo | Licence : CC BY 4.0 | Version 2.0

RÉSUMÉ

Ce travail évalue les décalages spectraux induits par un potentiel de torsion phénoménologique de la forme Vtorsion

(z) = α e−λ zcos(z / z0)

 sur les états quantiques du neutron dans le système qBounce. Les simulations numériques, exécutées avec imposition
stricte du mur dur en z = 0 et convergées à 4 chiffres, établissent un décalage spectral δν13 ≈ −0.3738 Hz et δν16 ≈ −0.4782 Hz
pour α = 0.05 E0 et λt = 1/z0

. Le rapport δν16

/ δν13 ≈ 1.279 constitue un discriminant clair par rapport à une variation uniforme de
la pesanteur Δg (rapport ≈ 2.100). Une analyse complémentaire de propagation de Schrödinger dépendante du temps démontre la
stabilité de ces décalages sous un pilotage harmonique par miroir vibrant avec enveloppe lisse.
1. HAMILTONIEN ET FORMULATION DU MODÈLE
On considers un neutron ultra-froid de masse m dans le champ gravitationnel terrestre restreint à la dimension verticale z,
soumis à une barrière impénétrable en z = 0. L'ansatz de torsion phénoménologique est modélisé par une oscillation
tronquée exponentiellement. En unités naturelles du système (longueur z0 = (ħ
2
/ (2 m
2 g))
1/3 ≈ 5.87 μm, énergie E0 = m g

z0 ≈ 0.602 peV), le hamiltonien adimensionné s'écrit :
H = − d
2
/dx
2 + x + a e
−λ x cos(x), avec ψ(0) = 0

où x = z / z0
, a = α / E0
, et λ = z0
/ λt = 1.0.

 Le problème aux valeurs propres est résolu par discrétisation en différences
finies centrées d'ordre 2 sur le domaine intérieur x ∈ ]0, L], éliminant rigoureusement le nœud x = 0 pour garantir la
condition de mur dur.

qBounce Torsion Model v2.0 | Malcor Éric Franck Marc Page 1 sur 4

2. CONVERGENCE NUMÉRIQUE ET LOIS D'ÉCHELLE
Le tableau 1 présente l'analyse de convergence en fonction du nombre de points de maillage N (pour L = 35.0 z0
), ainsi que

l'évaluation des fréquences de transition ν13 et ν16
.

Points (N) ν13
0
(Hz) δν13

(Hz) ν16
0
(Hz) δν16

(Hz) Rapport δν16
/δν13
800 463.142 -0.3732 1196.480 -0.4770 1.2781
1600 463.142 -0.3737 1196.480 -0.4779 1.2788
3200 463.142 -0.3738 1196.480 -0.4781 1.2790
6400 463.142 -0.3738 1196.480 -0.4782 1.2793
12800 463.142 -0.3738 1196.480 -0.4782 1.2793
25600 463.142 -0.3738 1196.480 -0.4782 1.2793
La linéarité de la réponse du système sous l'amplitude de perturbation a = α / E0 est vérifiée jusqu'à a = 0.05. Les lois
d'échelle empiriques obtenues s'écrivent :

δν13 ≈ −7.476 Hz · (α / E0

), δν16 ≈ −9.564 Hz · (α / E0
)

3. DISCRIMINATION PHÉNOMÉNOLOGIQUE
Le rapport des décalages δν16

/ δν13 ≈ 1.279 constitue un critère discriminant. Dans le cas d'un simple décalage uniforme
du champ de pesanteur Δg, la théorie des perturbations donne un rapport égal au rapport des fréquences non perturbées :

(δν16
/ δν13
)Δg = ν16
0
/ ν13
0 ≈ 1196.48 / 463.14 ≈ 2.100

qBounce Torsion Model v2.0 | Malcor Éric Franck Marc Page 2 sur 4

Remarque importante : Ce rapport de 1.279 permet d'écarter formellement l'hypothèse d'une fluctuation globale de
pesanteur Δg. Il convient toutefois de noter qu'un potentiel de surface générique non structuré pourrait présenter un rapport
différent ; ce critère isole spécifiquement la signature géométrique de l'ansatz oscillant.
4. ANNEXE A : ROBUSTESSE SOUS PILOTAGE DYNAMIQUE
Afin de vérifier que ces décalages ne constituent pas un artefact de l'approximation statique, une simulation de l'équation
de Schrödinger dépendante du temps a été menée. Le système est soumis au forçage d'un miroir oscillant :

Vdrv
(x, t) = x · ε · S(t) · cos(ω t)

où S(t) = sin
2
(π t / T) représente une enveloppe d'activation lisse sur une durée T = 20 ms (10 niveaux couplés).

Les résultats montrent que sous une enveloppe lisse, le centre du pic de résonance se décale de −0.371 Hz à −0.374 Hz
pour des amplitudes ε allant de 0.10 à 0.40, confirmant la stabilité parfaite du décalage statique (−0.3738 Hz). La largeur
de raie reste inchangée à 0.02% près, et les variations d'amplitude de transition (≈ 0.3%) restent sous le seuil de résolution
usuel.
5. TRANSPARENCE IA ET DÉCLARATIONS
L'auteur principal et unique concepteur théorique est Malcor Éric Franck Marc. Les modèles d'intelligence artificielle
(Gemini, Claude, Grok) ont été employés exclusivement comme assistants de calcul analytique, d'écriture de scripts de
validation numérique et de mise en page.

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ANNEXE B : CODE SOURCE DE VALIDATION (`QBOUNCE_TORSION.PY`)
Le script Python suivant (licence CC BY 4.0 / MIT) permet de reproduire l'intégralité des résultats numériques et du
tableau de convergence.

""" qBounce : décalages spectraux sous un ansatz de torsion phénoménologique. Auteur : Malcor Éric Franck
Marc Licence : CC BY 4.0 """ import numpy as np from scipy.linalg import eigh_tridiagonal # Constantes physiques
(CODATA) m = 1.674927498e-27 # masse du neutron (kg) g = 9.80665 # pesanteur (m/s^2) hbar = 1.054571817e-34 # J.s
h = 2 * np.pi * hbar z0 = (hbar**2 / (2 * m**2 * g)) ** (1 / 3) # ~5.87 um E0 = m * g * z0 # ~0.602 peV NU = E0 /
h # ~145.48 Hz def levels(a, N, L=35.0, lam=1.0, n_levels=6): """Calcule les niveaux d'énergie (en unités E0).
Condition mur dur imposée en excluant x = 0 des inconnues.""" dx = L / (N + 1) x = dx * np.arange(1, N + 1) V = x
+ a * np.exp(-lam * x) * np.cos(x) return eigh_tridiagonal(2 / dx**2 + V, -np.ones(N - 1) / dx**2, select="i",
select_range=(0, n_levels - 1))[0] def shifts(a, N, **kw): w0, w = levels(0.0, N, **kw), levels(a, N, **kw) out =
{} for j in (2, 5): # transitions 1->3 et 1->6 nu0 = (w0[j] - w0[0]) * NU out[j + 1] = (nu0, (w[j] - w[0] - (w0[j]

- w0[0])) * NU) return out if __name__ == "__main__": print(f"z0 = {z0*1e6:.3f} um, E0 = {E0/1.602176634e-
19*1e12:.4f} peV, E0/h = {NU:.2f} Hz") print("\nTest de convergence en maillage (alpha = 0.05 E0):") for N in

(800, 1600, 3200, 6400, 12800, 25600): s = shifts(0.05, N) print(f"N={N:6d} | d13={s[3][1]:.4f} Hz | d16={s[6]
[1]:.4f} Hz | ratio={s[6][1]/s[3][1]:.4f}")

Décalages spectraux et robustesse sous pilotage dynamique dans qBounce sous un ansatz de torsion phénoménologique (v3, corrigée)

Malcor Éric Franck Marc
Pre-print Zenodo | Licence : CC BY 4.0 | Version 3.0

NOTE DE CORRECTION. Cette version corrige la v2 (10.5281/zenodo.23621128) : (i) le tableau de convergence contenait des valeurs de ν13⁰ et ν16⁰ qui ne provenaient pas du script (ν16⁰ = 1196,480 Hz était erroné, la valeur calculée est ≈ 972,45 Hz) ; toutes les valeurs sont désormais calculées par le script joint ; (ii) le code de l'Annexe A (propagation dépendante du temps) est maintenant fourni ; (iii) la formulation sur la discrimination vis-à-vis de Δg est précisée ; (iv) l'effet propre du pilotage est explicité.

RÉSUMÉ
Ce travail évalue les décalages spectraux induits par un potentiel de torsion phénoménologique V(z) = α e^(−λz) cos(z/z0) sur les états quantiques du neutron dans qBounce. L'ansatz est postulé, non dérivé des équations d'Einstein-Cartan ; α, λ et la longueur d'onde sont des paramètres libres, de sorte que les décalages ci-dessous sont des conséquences de ce choix et non des prédictions. Pour α = 0,05 E0 et λ = 1/z0, avec mur dur strict en z = 0 et convergence à 4 chiffres : δν13 ≈ −0,3738 Hz, δν16 ≈ −0,4782 Hz, rapport δν16/δν13 ≈ 1,279. Ce rapport distingue le potentiel étudié d'une variation uniforme de la pesanteur Δg (rapport 2,100) ; il ne le distingue pas d'autres potentiels de surface localisés, qui donnent eux aussi un rapport différent de 2,1. Une propagation de Schrödinger dépendante du temps (miroir vibrant, enveloppe lisse) montre que le décalage différentiel (avec / sans torsion) reste stable ; en revanche le pilotage seul déplace la raie d'un ordre de grandeur comparable au signal (voir §4).

1. HAMILTONIEN ET MODÈLE
Neutron ultra-froid de masse m dans le champ gravitationnel restreint à la verticale, avec barrière impénétrable en z = 0. Unités : z0 = (ħ²/(2 m² g))^(1/3) ≈ 5,869 µm ; E0 = m g z0 ≈ 0,6016 peV ; E0/h ≈ 145,48 Hz. Hamiltonien adimensionné (x = z/z0, a = α/E0, λ = 1) :
H = −d²/dx² + x + a e^(−λx) cos(x), ψ(0) = 0.
Résolution par différences finies centrées d'ordre 2 sur x ∈ ]0, L], L = 35 z0, le nœud x = 0 étant exclu des inconnues (mur dur).

2. CONVERGENCE NUMÉRIQUE (α = 0,05 E0) — valeurs calculées par qbounce_torsion_v3.py
   N    | ν13⁰ (Hz) | δν13 (Hz) | ν16⁰ (Hz) | δν16 (Hz) | δν16/δν13
   800  |  462,861  |  −0,3739  |  972,102  |  −0,4782  |  1,2792
   1600 |  462,948  |  −0,3738  |  972,366  |  −0,4782  |  1,2792
   3200 |  462,969  |  −0,3738  |  972,432  |  −0,4782  |  1,2792
   6400 |  462,975  |  −0,3738  |  972,448  |  −0,4782  |  1,2792
   12800|  462,976  |  −0,3738  |  972,452  |  −0,4782  |  1,2792
   25600|  462,977  |  −0,3738  |  972,453  |  −0,4782  |  1,2792
Les fréquences non perturbées convergent lentement avec N (erreur en O(dx²)) ; les décalages différentiels convergent plus vite car l'erreur de maillage s'annule dans la différence. Lois d'échelle en régime linéaire (vérifié jusqu'à a = 0,05) : δν13 ≈ −7,476 Hz·(α/E0), δν16 ≈ −9,564 Hz·(α/E0).

3. DISCRIMINATION VIS-À-VIS DE Δg
Pour un décalage uniforme de la pesanteur, la théorie des perturbations donne un rapport égal à ν16⁰/ν13⁰ = 972,45/462,98 ≈ 2,100. Le rapport 1,279 écarte donc l'hypothèse d'un Δg uniforme seul. Il ne caractérise pas la torsion : tout potentiel localisé près du miroir donne un rapport différent de 2,1, et ce critère ne permet pas de distinguer l'ansatz étudié d'autres potentiels de surface.

4. ANNEXE A : PILOTAGE DYNAMIQUE (code fourni, partie B du script)
Forçage V_drv(x,t) = x ε S(t) cos(ωt), S(t) = sin²(πt/T), T = 20 ms, 10 niveaux couplés, α = 0,05 E0. Position du pic de la transition 1→3, sans et avec torsion :
   ε   | centre sans torsion (Hz) | centre avec torsion (Hz) | décalage dû à la torsion (Hz) | P3 max
   0,1 |        −0,012            |        −0,012            |         −0,374                |  0,008
   0,2 |        −0,085            |        −0,084            |         −0,373                |  0,032
   0,4 |        −0,371            |        −0,369            |         −0,371                |  0,123
Le décalage différentiel est stable (−0,371 à −0,374 Hz). Limite importante : le pilotage seul déplace le pic de −0,012 à −0,371 Hz selon ε, soit le même ordre de grandeur que le signal recherché. La stabilité n'est donc obtenue que par différence entre deux situations ; une mesure réelle exigerait de calibrer l'effet du pilotage bien mieux que 0,4 Hz. La probabilité de transition est faible (P3 max ≈ 0,12 à ε = 0,4).

5. TRANSPARENCE IA ET DÉCLARATIONS
L'auteur principal et unique concepteur théorique est Malcor Éric Franck Marc. Les modèles d'intelligence artificielle (Gemini, Claude, Grok) ont été employés comme assistants de calcul analytique, d'écriture de scripts de validation numérique, de relecture critique et de mise en page. Les erreurs de la v2 ont été identifiées lors de cette relecture et corrigées ici.

CODE : qbounce_torsion_v3.py (fichier joint, CC BY 4.0 / MIT). Exécution : python qbounce_torsion_v3.py

TITRE : Piste théorique : le potentiel quantique de Bohm comme candidat de source pour la torsion (Einstein-Cartan), et test d'auto-cohérence sur qBounce

RÉSUMÉ : Note d'orientation théorique. Dans ses travaux tardifs sur le champ unifié, Einstein a exploré les connexions à torsion mais s'est heurté à l'absence de source quantique viable (densités de spin inatteignables). Cette note propose, à titre d'hypothèse de travail, d'examiner le potentiel de Bohm Q = −(ħ²/2m) Δ√ρ/√ρ comme candidat de source de la contrainte géométrique. En posant Q égal à l'ansatz de torsion phénoménologique de la note qBounce (10.5281/zenodo.23621128), on obtient par inversion un profil de densité régulier (constante d'intégration c = 0). Réinjecté dans le solveur aux valeurs propres, il redonne δν13 ≈ −0,3738 Hz et δν16 ≈ −0,4782 Hz (rapport 1,279) ; ce résultat est acquis par construction (le même potentiel est réinjecté) : il vérifie la cohérence numérique de l'inversion, il ne constitue pas une validation indépendante. Le lien entre Q et une densité de spin d'Einstein-Cartan n'est pas établi ici, pas plus que l'absence de double comptage de Q, déjà présent dans la dynamique du neutron. Le test décisif, l'auto-cohérence stricte sur les fonctions propres d'Airy, reste ouvert. Trois axes de recherche sont proposés : [à remplacer par tes trois axes d'origine].

TRANSPARENCE IA : conception théorique : Malcor Éric Franck Marc. Gemini, Claude et Grok ont été utilisés comme assistants de calcul, de relecture critique et de mise en page.