Splitting 5/121 by the Largest Unit Fraction First Reaches a 25-Digit Denominator, While Three Terms Need Only 363 ── taking the largest unit fraction each time, 5/121 takes five terms and the last denominator has 25 digits ── three terms suffice with 1/33+1/121+1/363, the largest denominator only 363 ── [Paper 634]

A fraction is written as a sum of distinct unit fractions, fractions with numerator 1 (an Egyptian fraction). Taking each time the largest unit fraction not exceeding the rest (the greedy method) is compared with the shortest form found by exhaustive search. No new theorem or law is claimed.

Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──that every fraction can be written as a sum of unit fractions, that the greedy method takes no more terms than the numerator (since Fibonacci), and that its denominators grow fast (Sylvester, 1880) are all known. The Erdős--Straus conjecture (whether 4/n always has a three-term form) is not treated──it is only counted that fractions with numerator 4 and 5 and denominators up to 200 all had forms of at most three terms. Relation to earlier papers: Paper 633 counted that even for coin sets where the greedy method for change misses, it takes only one coin more than the fewest──here the same "largest first" makes the denominators explode when it misses. Paper 348 showed that on the same graph the greedy method is optimal for spanning trees and misses for tours──this is also on the missing side, and the size of the miss is measured. What is added is listing the 21 three-term forms of 5/121 by exhaustive search, counting the ratios of the denominators' digits, counting how often fractions with numerator 4 and 5 miss, and placing the separator on whether the largest is taken without looking ahead.

First, 5/121 takes five greedy terms, reaching a 25-digit denominator──the denominators are 25, 757, 763309, 873960180913 and 1527612795642093418846225, and the ratios of their numbers of digits to the previous one are 2.059527, 2.043246, 2.029934 and 2.025209, close to 2 (Section 2).

Second, with three terms the largest denominator need only be 363──exhaustive search found no two-term form of 5/121 and 21 three-term forms. The one with the smallest largest denominator is 1/33+1/121+1/363, and the largest denominators of the 21 forms range from 363 to 275275 (Section 3).

Third, and this is the core. The greedy method's miss shows in the size of the denominators more than in the number of terms──the next greedy denominator d' is always larger than d(d-1) for the current denominator d. So once it misses, the digits nearly double at each step, and a difference of just two terms becomes the difference between 3 digits and 25 (Sections 2 and 4).

Fourth, for fractions with numerator 4 or 5, it misses now and then──counting reduced fractions with denominators up to 200, the greedy method used more terms than the fewest for 18 of the 98 with numerator 4 and 23 of the 156 with numerator 5. 4/49 takes four greedy terms (the last denominator 9204734721) but is 1/14+1/98 in two (Section 5).

Splitting 5/121 each time by the largest unit fraction not exceeding the rest takes five terms, with denominators 25, 757, 763309, 873960180913 nearly doubling in digits, the last having 25 digits. Exhaustive search finds 21 three-term forms, and with 1/33+1/121+1/363 the largest denominator need only be 363. The next greedy denominator exceeds d(d-1) for the current d, so once it misses the denominators explode──the miss shows in the size of the denominators more than in the number of terms. For fractions with numerator 4 and 5, it misses now and then. The separator is whether the largest is taken without looking ahead. Placed among the earlier papers──in the change of Paper 633 a miss cost only one coin, but here the same greedy method makes the denominators explode. To be honest──neither the Erdős--Straus conjecture nor an exhaustive search of forms longer than three terms is entered.

On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated.

Keywords: Egyptian fractions, unit fractions, greedy algorithm, Sylvester's sequence, growth of denominators.

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分数を、相異なる単位分数(分子が 1 の分数)の和に表す(エジプト式分数)。毎回、残りを超えない最大の単位分数を取る方法(貪欲法)と、全探索で見つけた最も短い表し方を比べる。新しい定理も法則も主張しない。

本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──どの分数も単位分数の和に表せること、貪欲法の項数が分子を超えないこと(フィボナッチ以来)、貪欲法の分母が急に増えること(シルベスター、1880)は、いずれも既知である。エルデシュとシュトラウスの予想(4/n はいつも三項で表せるか)は扱わない──分母 200 以下の分子 4 と 5 の分数が、どれも三項以内で表せたことを数えただけである。既刊との関係:論文633 は、両替の貪欲法が外れる硬貨の組でも、最少より一枚多いだけであることを数えた──ここでは同じ「一番大きいものから取る」が、外れると分母を爆発させる。論文348 は、同じグラフで、全域木は貪欲法で最適になり、巡回路は外れることを示した──ここも外れる側で、その外れ方の大きさを測った。加えたのは、5/121 の三項の表し方を全探索で 21 通り並べたこと、分母の桁の比を数えたこと、分子 4・5 の分数で外れる数を数えたこと、分離子を「先を見ずに一番大きいものを取るか」に置いたことである。

第一に、5/121 は貪欲法で五項になり、分母が 25 桁に達する──分母は 25・757・763309・873960180913・1527612795642093418846225 で、一つ前の分母の桁数に対する比は 2.059527・2.043246・2.029934・2.025209 と、ほぼ 2 である(第2節)。

第二に、三つに分ければ、最大の分母は 363 で済む──全探索では、5/121 は二項では表せず、三項の表し方は 21 通りあった。最大の分母が最も小さいのは 1/33+1/121+1/363 で、21 通りの最大の分母は 363 から 275275 までだった(第3節)。

第三に、これが本稿の芯である。貪欲法の外れ方は、項の数より分母の大きさに出る──貪欲法で次に取る分母 d' は、いま取った分母 d について必ず d(d-1) より大きい。だから一度外れると分母の桁がほぼ倍ずつ増え、二項多いだけの差が、3 桁と 25 桁の差になる(第2節・第4節)。

第四に、分子 4・5 の分数では、ときどき外れる──分母 200 以下の既約分数で数えると、分子 4 の 98 個のうち 18 個、分子 5 の 156 個のうち 23 個で、貪欲法が最少より多い項を使った。4/49 は貪欲法で四項(最後の分母 9204734721)だが、1/14+1/98 の二項で表せる(第5節)。

5/121 を、毎回残りを超えない最大の単位分数から分けると五項になり、分母は 25・757・763309・873960180913 と桁がほぼ倍ずつ増え、最後は 25 桁になる。全探索では三項の表し方が 21 通りあり、1/33+1/121+1/363 なら最大の分母は 363 で済む。貪欲法の次の分母はいまの分母 d について d(d-1) より大きいので、外れると分母が爆発する──外れ方は、項の数より分母の大きさに出る。分子 4・5 の分数では、ときどき外れる。分離子は、先を見ずに一番大きいものを取るかどうかである。既刊との位置──論文633 の両替では外れても一枚多いだけだったが、ここでは同じ貪欲法が分母を爆発させる。正直に言えば──エルデシュとシュトラウスの予想にも、三項より長い表し方の全探索にも入っていない。

作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

キーワード:エジプト式分数、単位分数、貪欲法、シルベスターの数列、分母の増え方。