Fire Grows as the Square of Time, So the Weight of the Same Minute's Delay Changes ── For a fire whose heat release grows as alpha t^2, a delay of 60 seconds after it is noticed at 100 kW multiplies the heat release by 1.7551 for a slow fire and by 12.9489 for an ultra-fast one ── with exponential growth it would not depend on when the fire was noticed ── [Paper 577]

In a fire, "every second counts". What this paper shows is that when a fire grows as the square of time, the weight of one and the same minute's delay changes greatly with how the fire grows and when it was noticed, and the earlier it was noticed, the heavier the delay that follows. No new theorem or law is claimed.

Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the model of a fire whose heat release grows as the square of time and its classes of growth are standard. Only the growth phase is considered──limits to spread, the ventilation-controlled plateau and burnout are not included. Noticing is placed at 100 kW──the heat release at which a detector responds varies with ceiling height and detector type; 100 kW is a representative value for comparison. No fire protection is designed──the choice and placement of detectors and sprinklers and the quantity of water discharged are not treated, and no "within so many seconds" is stated. Heat taken by water is estimated up to the evaporation of water at 20 degrees──the water actually needed to suppress a fire depends strongly on how much of it reaches the fire. Relation to earlier papers: Paper 558 showed that the same "ten per cent" becomes 1.4641 or 0.7513 depending on which dimension──this paper shares the shape of one operation giving different results, but what changes is not the dimension but where on the growth curve the fire was noticed. Paper 283 showed that the same "double it" gives results differing by orders of magnitude according to mechanism──here the same delay changes in nature with the type of growth: dependent on the time of noticing for a power, independent for an exponential. Paper 300 showed that sharing a root is decidable──"the faster the fire, the heavier the delay" and "the earlier noticed, the heavier the delay" share one root, the ratio Delta t/t_d. What is added is deriving the coefficients of four fires from the standard classes and setting out the weight of the same 60-second delay, showing that the weight of a delay is (1+Delta t/t_d)^2 and depends on the time of noticing, comparing the nature of a delay under linear, squared and exponential growth, and placing the separator on power against exponential.

First, the growth coefficients follow from the standard classes──for the four fires reaching 1055 kW in 600, 300, 150 and 75 seconds, alpha=0.002931, 0.011722, 0.046889 and 0.187556 kW/s^2 (Section 2).

Second, the same 60 seconds weigh from 1.7551 to 12.9489 times, by how the fire grows──in the heat released so far, from 2.3252 to 46.5962 times (Section 2).

Third, and this is the core. The weight of a delay is (1+Delta t/t_d)^2 and depends on the time of noticing t_d──a 60-second delay after noticing at 50 seconds gives 4.840000 times, after noticing at 400 seconds 1.322500 times (Section 3).

Fourth, a fire noticed at 120 seconds and delayed 60 has exactly 2.250000 times the heat release and 3.375000 times the heat released──(3/2)^2 and (3/2)^3 (Section 3).

Fifth, the type of growth changes the nature of a delay──noticed at 100 seconds and delayed 60, linear growth gives 1.600000 times, squared growth 2.560000, and exponential growth that multiplies by e every 60 seconds 2.718282, the last alone independent of when the fire was noticed (Section 4).

Sixth, the separator is whether growth follows a power or an exponential──for a power the weight of a delay is set by when the fire was noticed; for an exponential only by how long the delay was (Section 5).

In a fire, "every second counts". Yet the weight of one and the same minute changes greatly with how the fire grows and when it was noticed──sorting fires whose heat release grows as alpha t^2 by the time taken to reach 1055 kW gives alpha from 0.002931 to 0.187556 kW/s^2. A 60-second delay after noticing at 100 kW multiplies the heat release by 1.7551 for a slow fire and 12.9489 for an ultra-fast one, and the heat released so far by 2.3252 to 46.5962. The weight of a delay is (1+Delta t/t_d)^2, and the earlier a fire is noticed, the heavier the delay that follows──a 60-second delay weighs 4.840000 times after noticing at 50 seconds and 1.322500 after noticing at 400. For a fire noticed at 120 seconds it is exactly 2.250000 times in heat release and 3.375000 in heat released, and the water needed rises by the same factor, 0.385820 kg per second for each MW. Linear growth gives 1.600000, squared 2.560000, exponential 2.718282, and only the exponential ignores when the fire was noticed. The separator is whether growth follows a power or an exponential──for a power the weight of a delay is set by when the fire was noticed, for an exponential only by how long the delay was. Under Paper 300, "faster fire, heavier delay" and "noticed earlier, heavier delay" share the one ratio Delta t/t_d. Placed among the earlier papers──as the same ten per cent of Paper 558 became different factors by dimension, the same minute becomes different factors by its place on the curve. As the same doubling of Paper 283 differed by mechanism, the same delay changes in nature with the type of growth. To be honest──only the growth phase was considered, without limits to spread, the ventilation plateau or burnout. Noticing at 100 kW is a representative value, and no detector or sprinkler was designed. The water estimate is the heat up to evaporation, without the share that reaches the fire. And no "within so many seconds" is stated: what is shown is that the weight of a minute is not one number.

On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated.

Keywords: t-squared fire, fire growth, detection delay, heat release rate, sprinkler.

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火災では「一分一秒を争う」と言われる。本稿が示すのは、火が時間の二乗で育つとき、同じ一分の遅れの重さは火の育ち方と、いつ気づいたかで大きく変わり、しかも早く気づいた火ほど、その後の遅れが重いことである。新しい定理も法則も主張しない。

本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──発熱速度が時間の二乗で育つ火の模型も、その成長の分類も標準的である。育つ段階だけを見る──燃え広がりの限界、換気で頭打ちになる段階、燃え尽きは入れていない。気づく点を 100 kW に置いた──感知器が働く発熱速度は、天井の高さや感知器の種類で変わる。本稿の 100 kW は比べるための代表値である。火災の対策を設計しない──感知器やスプリンクラーの選び方、配置、放水の量は扱わない。「何秒以内に」とも書かない。水で奪う熱は、20 度の水が蒸発するまでで見積もった──実際に火を抑えるのに要る水は、水が火に届く割合で大きく変わる。既刊との関係:論文558 は、同じ「一割」が、どの寸法かで 1.4641 倍にも 0.7513 倍にもなることを示した──本稿も「同じ操作が別の結果になる」型だが、変わるのは寸法ではなく、成長曲線のどこで気づいたかである。論文283 は、同じ「二倍にする」が、仕組みで桁違いに違う結果になることを示した──本稿では同じ遅れが、育ち方の型で性質ごと変わる。冪なら気づいた時刻に依り、指数なら依らない。論文300 は同根か別根かが判定できると示した──「火が速いほど遅れが重い」と「早く気づいた火ほど遅れが重い」は、Delta t/t_d という一つの比から出る同根である。加えたのは、標準の分類から四つの火の係数を出し、同じ 60 秒の遅れの重さを並べたこと、遅れの重さが (1+Delta t/t_d)^2 で気づいた時刻に依ることを示したこと、一次・二次・指数の三つの成長で遅れの性質を比べたこと、分離子を「冪か指数か」に置いたことである。

第一に、育ち方の係数は標準の分類から出る──1055 kW に達するまで 600・300・150・75 秒の四つの火で、alpha=0.002931・0.011722・0.046889・0.187556 kW/s^2 である(第2節)。

第二に、同じ 60 秒の遅れが、育ち方で 1.7551 倍から 12.9489 倍まで違う──それまでに出た熱では 2.3252 倍から 46.5962 倍である(第2節)。

第三に、これが本稿の芯である。遅れの重さは (1+Delta t/t_d)^2 で、気づいた時刻 t_d に依る──50 秒で気づいた火の 60 秒の遅れは 4.840000 倍、400 秒で気づいた火なら 1.322500 倍である(第3節)。

第四に、120 秒で気づいた火が 60 秒遅れると、発熱速度はちょうど 2.250000 倍、出た熱は 3.375000 倍である──(3/2)^2 と (3/2)^3 である(第3節)。

第五に、育ち方の型が、遅れの性質を変える──100 秒で気づいて 60 秒遅れると、一次の成長で 1.600000 倍、二次で 2.560000 倍、60 秒で e 倍になる指数の成長で 2.718282 倍になり、指数だけは気づいた時刻に依らない(第4節)。

第六に、分離子は、成長が冪か指数か、である──冪なら遅れの重さは「いつ気づいたか」で決まり、指数なら「どれだけ遅れたか」だけで決まる(第5節)。

火災では「一分一秒を争う」と言われる。ところが同じ一分の重さは、火の育ち方と、いつ気づいたかで大きく変わる──発熱速度が alpha t^2 で育つ火を、1055 kW に達するまでの時間で四つに分けると、alpha は 0.002931 から 0.187556 kW/s^2 まで開く。100 kW で気づいてから 60 秒遅れると、発熱速度はゆっくり育つ火で 1.7551 倍、極めて速い火で 12.9489 倍になり、それまでに出た熱では 2.3252 倍から 46.5962 倍になる。遅れの重さは (1+Delta t/t_d)^2 で、早く気づいた火ほど、その後の遅れが重い──50 秒で気づいた火の 60 秒の遅れは 4.840000 倍、400 秒で気づいた火なら 1.322500 倍である。120 秒で気づいた火なら発熱速度はちょうど 2.250000 倍、出た熱は 3.375000 倍で、奪うのに要る水も同じだけ増える。1 MW を奪うには毎秒 0.385820 kg の水が要る。一次の成長なら 1.600000 倍、二次なら 2.560000 倍、指数なら 2.718282 倍で、指数だけは気づいた時刻に依らない。分離子は、成長が冪か指数か、である──冪なら遅れの重さはいつ気づいたかで決まり、指数ならどれだけ遅れたかだけで決まる。論文300 の基準で、「速い火ほど重い」と「早く気づいた火ほど重い」は Delta t/t_d という一つの比から出る同根である。既刊との位置──論文558 の同じ一割が寸法で別の倍率になったように、同じ一分が曲線のどこにいるかで別の倍率になる。論文283 の同じ二倍が仕組みで桁違いに違ったように、同じ遅れが育ち方の型で性質ごと変わる。正直に言えば──育つ段階だけを見て、燃え広がりの限界も換気の頭打ちも燃え尽きも入れていない。気づく点の 100 kW は代表値で、感知器もスプリンクラーも設計していない。水の見積もりは蒸発までの熱で、水が火に届く割合は入れていない。そして「何秒以内に」とは書かない──示したのは、一分の重さが一つの数ではないということである。

作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

キーワード:t² 火災、火災の成長、感知の遅れ、発熱速度、スプリンクラー。