How Dry You Want It Decides Which Stage Is Rate-Limiting ── To a moisture content of 0.10 the falling-rate period is 2.9193 hours, shorter than the constant-rate 8.0000; to 0.03 it is 10.4053 and longer ── the crossing lies at 0.039506 ── removing the same 0.001 near 0.023 costs 3.85 times what it costs near 0.030 ── [Paper 455]

Drying falls into two periods, and the second is said to be the long one. This paper shows that which is longer switches with how dry one wants it──and the switch lies at a moisture content of 0.039506. No new theorem or law is claimed.

Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the distinction between constant-rate and falling-rate drying, the equilibrium moisture content and exponential approach are all standard. No dryer is designed──air flow, temperature, circulation and heat recovery are not the subject. No material is specified──nothing here is particular to timber, food or sludge; anything describable by a moisture content is covered. The numbers are a model──the constant rate of 0.05 per hour, the critical content 0.20 and the equilibrium content 0.02 are chosen, not measured. Quality is excluded──cracking, discolouration and flavour change from over-drying are not the subject. Relation to earlier papers: Paper 454 showed that a cubic load still needs only a linear width──there too, no answer came from one side alone. Paper 300 showed that common root and distinct root can be decided──“drying limited by the constant-rate period” and “by the falling-rate period” are distinct roots by that criterion. Paper 446 showed that a floor moves with the demand──there too, moving the demand moved the limit; this is a third instance of the same shape. Paper 445 showed that the waiting is for diffusion, not reaction──there too, which of two limits decided what to do. What is added is giving the falling-rate period at five targets, giving the crossing in closed form as 0.039506, confirming the flip on both sides of it, giving the time ratio for the same increment as 3.85, and placing the separator at a fixed versus a demand-dependent limit.

First, the constant-rate period (0.60 to 0.20) is 8.0000 hours regardless of the target (Section 2).

Second, the falling-rate period moves from 2.9193 to 16.1993 hours with the target (Section 2).

Third, this is the core of the paper. The crossing lies at 0.039506, and which period is longer flips across it (Section 3).

Fourth, removing the same 0.001 costs 1.4597 hours near 0.023 against 0.3793 near 0.030 (Section 3).

Fifth, the equilibrium moisture content itself is never reached in finite time (Section 3).

Sixth, the separator is whether the rate-limiting step is fixed or moves with the demand (Section 4).

Drying falls into two periods, and the second is said to be the long one──what follows the drying of the surface takes longer, and that experience is familiar. But “the second” has no length until one says where it ends: the first ends when the critical content is reached, the second ends when we stop. The first period is fixed──(0.60-0.20)/0.05=8.0000 hours, the same however dry one intends to go. The second moves with the target through 2.9193, 6.4503, 10.4053, 12.9007 and 16.1993 hours, a factor of 5.55──for a difference of only 0.078 in the water removed. And at 0.100 the first period is longer while at 0.030 the second is: which stage limits has switched with the target. The crossing can be written in closed form──W_x=W_e+(W_c-W_e)e^-Kt_const=0.039506, and inverting gives a falling-rate period of exactly 8.0000 hours to within 10^-9 relative. The order reverses on both sides: at 1.05 times W_x the first period wins, at 0.95 times the second. 0.039506 falls between the practical targets 0.05 and 0.03, so the switch is not an academic one. And removing the same amount of water takes longer the drier it is: 0.3793 hours from 0.030 to 0.029 against 1.4597 from 0.023 to 0.022, a factor of 3.85. The equilibrium content itself is never reached in finite time, with residuals of 1.554x10^-13 at 100 hours and 1.342x10^-25 at 200──always falling, never zero. On a computer, though, the residual vanishes from the sum at 142 hours, since adding 10^-18 to 0.02 changes nothing in floating point. That is a limit of precision, not of physics; I wrote the test wrongly here once. One thing separates them──is the rate-limiting step fixed, or does it move with the demand. If fixed, there is one thing to do: blow air if evaporation limits, make it thinner if diffusion does. If it moves, nothing can be chosen without a target──air for 0.10, thickness for 0.03, with the same material in the same machine giving a different answer. They are distinct roots by the criterion of Paper 300, one a property of material and machine and one of those paired with a target. This is a third instance of the shape of Paper 446 and Paper 453, where raising the recovery raised the floor and losing friction raised the floor on speed: in all three, the limit was a function of the demand. It overlaps Paper 445 too, where the waiting was for diffusion rather than reaction: here which one is being waited for changes with the target, so identifying the limiting step is itself conditional work. So when “shortening the drying time” is discussed, print the target──an improvement aimed at 0.10 does nothing at 0.03, because the limit has moved elsewhere. To be honest──the numbers are a model, with R, W_c and W_e chosen rather than measured. The location 0.039506 differs by material; what does not differ is that a crossing exists.

On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated.

Keywords: drying, constant-rate period, falling-rate period, equilibrium moisture content, rate-limiting step.

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乾燥は二つの期間に分かれ、後半が長いと言われる。本稿が示すのは、どちらが長いかは、どこまで乾かすかで入れ替わることである──入れ替わる点は含水率 0.039506 にある。新しい定理も法則も主張しない。

本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──定率乾燥期間と減率乾燥期間の区別、平衡含水率、指数型の減衰はすべて既知である。乾燥機を設計しない──風量、温度、循環、熱回収は主題ではない。材料を特定しない──木材、食品、汚泥のどれかに限らない。含水率で書ける対象を一般に扱う。数値は模型である──定率期の速度 0.05 毎時、限界含水率 0.20、平衡含水率 0.02 は置いた値で、実測ではない。品質を論じない──乾かしすぎによる割れ、変色、風味の変化は主題ではない。既刊との関係:論文454 は荷重が 3 乗で増えても必要幅が 1 乗で済むことを示した──そこでも、両側を見なければ答えが出なかった。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した──「定率期が律速の乾燥」と「減率期が律速の乾燥」は、その基準で別根である。論文446 は下限が要求で動くことを示した──そこでも、要求の側を動かすと限界が動いた。本稿は同じ形の三例目である。論文445 は待っているのが反応ではなく拡散であることを示した──そこでも、どちらが律速かで打つ手が変わった。加えたのは、五つの目標含水率で減率期を出したこと、入れ替わりの含水率を閉じた式で 0.039506 と出したこと、境目の両側で長短が逆転することを確かめたこと、同じ量を抜く時間の比を 3.85 倍と出したこと、分離子を「律速が固定か要求で動くか」に置いたことである。

第一に、定率期(0.60 から 0.20)は 8.0000 時間で、目標に依らず一定である(第2節)。

第二に、減率期は目標で 2.9193 から 16.1993 時間へ動く(第2節)。

第三に、これが本稿の芯である。律速が入れ替わる含水率は 0.039506 で、その上下で長い期間が変わる(第3節)。

第四に、同じ 0.001 を抜くのに、0.023 付近では 1.4597 時間、0.030 付近では 0.3793 時間である(第3節)。

第五に、平衡含水率そのものには、有限の時間では到達しない(第3節)。

第六に、分離子は「律速が固定か、要求で動くか」である(第4節)。

乾燥は二つの期間に分かれ、後半が長いと言われる──表面が乾いてからが長い、という経験はよく知られている。だが「後半」は、どこで終わるかを決めなければ長さが決まらない。前半は限界含水率に達したら終わるが、後半はこちらが止めるまで終わらない。前半は固定されている──定率期は (0.60-0.20)/0.05=8.0000 時間で、どこまで乾かすつもりでも最初の 8 時間は同じである。ところが減率期は目標で 2.9193・6.4503・10.4053・12.9007・16.1993 時間と 5.55 倍動く──抜く水の量は 0.078 しか違わないのにである。そして 0.100 では定率期のほうが長く、0.030 では減率期のほうが長い。どちらが律速かが、目標で入れ替わっている。入れ替わる点は、閉じた式で書ける──W_x=W_e+(W_c-W_e)e^-Kt_const=0.039506 であり、逆算するとこの含水率までの減率期はちょうど 8.0000 時間になる(相対差 10^-9 未満)。境目の両側で長短が入れ替わることも確かめた──1.05 倍では定率期が勝ち、0.95 倍では減率期が勝つ。0.039506 は実用的な目標 0.05 と 0.03 の間にあり、この入れ替わりは机上の話ではない。そして同じ量の水を抜くのに、乾いているほど時間がかかる。0.030 から 0.029 は 0.3793 時間、0.023 から 0.022 は 1.4597 時間で、3.85 倍である。平衡含水率そのものには有限の時間では到達せず、100 時間で残差 1.554x10^-13、200 時間で 1.342x10^-25 と減り続けるがゼロにはならない。ただし計算機の上では 142 時間で残差が和から消える。0.02 に 10^-18 を足しても浮動小数では変わらないからで、これは物理ではなく桁の限界である──私はここで一度、検査の書き方を誤った。分けているものは一つ──律速が固定か、要求で動くか。固定なら打つ手は一つに決まり、蒸発が律速なら風を送り、拡散が律速なら薄くすればよい。要求で動くなら目標を言わなければ打つ手が決まらず、0.10 までなら風、0.03 までなら厚みと、同じ材料・同じ装置でも答えが変わる。論文300 の基準で別根であり、一方は材料と装置の量、一方はそれに目標を加えた組の量である。論文446 と論文453 に続く、同じ形の三例目である──論文446 では回収率を上げると理論の下限が上がり、論文453 では摩擦が減ると速度の下限が立ち上がり、ここでは目標を下げると律速が入れ替わる。いずれも、限界が要求の関数だった。論文445 とも重なり、そこでは待っているのが反応ではなく拡散だった。ここでは、どちらを待っているかが目標で変わる──律速の同定そのものが、条件つきの作業である。だから「乾燥時間の短縮」を語るときは目標含水率を併記する。0.10 を目標にした改善が 0.03 では効かないのは、律速が別の場所へ移っているからである。正直に言えば──数値は模型で、R も W_c も W_e も置いた値である。0.039506 という位置は材料ごとに違う。変わらないのは、入れ替わる点が存在することである。

作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

キーワード:乾燥、定率乾燥、減率乾燥、平衡含水率、律速。