Explorations de systèmes dynamiques et diophantiens : rigidité, chaos et infinis

Explorations de systèmes dynamiques et diophantiens : rigidité, chaos et infinis

Ce recueil rassemble des systèmes dynamiques arithmétiques originaux. L'ambition n'est pas de démontrer des théorèmes fermés, mais d'explorer les comportements émergents que l'arithmétique élémentaire peut produire quand on lui ajoute de la mémoire, du miroir et de l'auto-référence. Chaque algorithme est pensé comme un terrain de jeu infini : on observe, on ajuste, on gomme parfois, et on laisse la structure parler.

Le Vortex Cathédral (ou Vortex 19) : 

Un opérateur à deux temps (Sceau et Soufflet) qui compresse et décompresse un nombre en alternance. Sur 100 000 entiers testés, le système révèle une loi de prédiction parfaite par la somme des chiffres, avec un unique cycle vivant (19 ↔ 28) et dix-huit puits fixes à distribution statistique constante sous le vortex.

L'Escalier des Glaces :

Librement inspiré de la Fourmi de Langton, ce système à trois étages (Miroir, Puits, Fond) fait évoluer une fourmi numérique sur une bande de chiffres. La sortie par un bord déclenche une concaténation-miroir ; l'oscillation force un passage dans le Puits, où un mélange dépendant du compteur de cycles injecte de la matière avant le retour au Miroir. Le système respire : il gonfle, se fait couper, regonfle.

L'Auto-Régime Caramba :

Une constante qui devient son propre algorithme. Partant de la fraction 572/783 (Caramba), le système génère des chiffres décimaux, scanne son propre passé pour y détecter des fractions de nombres premiers, puis adopte la fraction trouvée comme nouveau régime. Un mécanisme de backtracking à trois niveaux (pioche dans le passé, génération artificielle, briques fixes) empêche les boucles et assure la pérennité. Sur 15 000 chiffres, aucune période n'est détectée ; conjecture de transcendance.

La mécanique concaténation-miroir a été reprise de l'ancien dépôt V1 naïf. Les fichiers sont toujours accessibles. Par ailleurs de nouveaux systèmes viendront enrichir ces expérimentations algorithmiques.

Les Neuf Sœurs d'Azrael (ou Taxicubes Rootcubes) :

Une équation à trois inconnues où le produit est le cube du cube de la somme. À gauche, un monstre de degré 9 ; à droite, un simple $abc$. On la traque sur cinq plans — réel, complexe, $p$-adique, entier, dynamique — et elle révèle une personnalité schizophrène : stérile comme le désert dans $\mathbb{Z}^3$ (aucune solution entière non triviale, prouvé), mais jungle infinie dans $\mathbb{R}^3$ avec ses neuf racines complexes, ses orbites chaotiques sous l'opérateur $\Phi$, et ses extensions galoisiennes de degré 9. L'itération $(a_{n+1}, b_{n+1}) = (b_n, \Phi(a_n, b_n))$ ne converge pas : elle dérive, s'amplifie, dessine un attracteur étrange sur une surface algébrique que personne n'avait jamais regardée.

La Fractale Primale (ou Le Crible Glissant de Copeland-Erdős) :

On prend la constante normale $0.235711131719\dots$ — la concaténation infinie des nombres premiers — et on y fait glisser une fenêtre de $k$ chiffres. Chaque fenêtre devient un candidat à la primalité. L'intuition dit : c'est du hasard, la normalité de Copeland-Erdős (1946) garantit l'uniformité. L'expérience dit autre chose. Pour $k=2,3,4$, on trouve 50 à 70% plus de nombres premiers que la loi du hasard. Pour $k=5$, le biais explose à +240%. Des constellations de quinze nombres premiers consécutifs apparaissent. Des cycles de décalage se forment : $11743 \to 17431 \to 74311 \to 43117 \to \dots$ comme des roues dentées qui s'engrenent. On conjecture un régime critique où le biais persiste asymptotiquement avec un facteur $C^* \approx 1.3$ — la mémoire des nombres premiers ne s'efface pas, même dans leur propre concaténation.

Les Taxicubiquadratiques (ou TCQ) :

On prend l'équation $N = a^3 + b^3 + c^4$ — deux cubes et une puissance quatrième — et on cherche le plus petit $N$ qui s'y écrive en exactement $n$ façons. L'intuition dit : c'est un cousin exotique des taxicabs, donc c'est du lourd, du très lourd, du millénaire de calcul. L'expérience dit autre chose. En trente-cinq secondes de compute, la convolution des sommes de deux cubes crache dix termes impeccables : de $TCQ(1) = 3$ à $TCQ(10) = 6\,198\,727\,824$. La méthode CPS, affûtée sur des mois de chasse aux taxicabs, dévore ce problème mixte comme du pain sec. L'homothétie de degré 12 fait le reste : chaque solution engendre un escalier infini de n-way par magnification, des roues dentées qui tournent dans l'espace des puissances. On conjecture que $TCQ(n)$ existe pour tout $n$, et que sa croissance log-linéaire laisse encore des termes accessibles au-delà du dixième — la mémoire des cubes ne s'efface pas quand on y ajoute une quatrième dimension.

Cette suite arbitraire est jugée trop faible pour être présentée autrement qu'un jeu dérivé des taxicabs. Elle constitue néanmoins un hommage sympathique (de mon point de vue) pour nos cribles antérieurs. Voir référence associée.

https://youtu.be/bNfwF9V6a1o