How Far Does Light Determine Geometry? ── Two Roads That Stop at Conformal Structure (Differential Geometry and Order Theory), and the Distinct Roots of the Residual "Scale" ── [Paper 111]

How Far Does Light Determine Geometry? Two Roads That Stop at Conformal Structure (Differential Geometry and Order Theory), and the Distinct Roots of the Residual Scale.

This series has treated the speed of light c repeatedly (63, 66, 83, 95, 108), yet one question was never asked directly: GIVEN LIGHT ALONE, HOW MUCH OF SPACETIME GEOMETRY IS DETERMINED? This paper answers with established theorems, as a LAYER-2 structural interpretation and DISTINCT-ROOTS CENSUS. (i) EHLERS-PIRANI-SCHILD (1972): light rays determine a CONFORMAL STRUCTURE (the null cones, i.e. the metric up to a positive conformal factor, g ~ Omega^2 g); freely falling particles determine a PROJECTIVE STRUCTURE (the straightness of geodesics); their compatibility fixes a WEYL STRUCTURE uniquely. Reaching a Lorentzian metric requires ONE FURTHER STEP: the absence of the SECOND-CLOCK EFFECT. (ii) ZEEMAN (1964): the bijections of Minkowski spacetime (dimension three or higher) that preserve the CAUSAL ORDER are generated by orthochronous Lorentz transformations, translations and dilatations, with NEITHER CONTINUITY NOR LINEARITY ASSUMED (both are conclusions, not hypotheses). (iii) HAWKING-KING-McCARTHY (1976) / MALAMENT (1977): in general (distinguishing) spacetimes as well, the causal structure determines the conformal structure, the topology and the differentiable structure. Starting from entirely different mathematics (differential geometry / order theory), the roads HIT THE SAME WALL: light and causality determine the metric UP TO A CONFORMAL FACTOR, and stop there. Of the ten independent components of a four-dimensional Lorentzian metric, light determines the NINE of the conformal class; the remaining ONE, the scale, it does not. CORE OF THE PAPER: that residual scale is TWO DISTINCT ROOTS carried by ONE WORD. What remains in EPS is a FUNCTION on spacetime (the local conformal factor, removed by CLOCKS, i.e. the absence of the second-clock effect, 96); what remains in Zeeman is a GLOBAL CONSTANT (the dilatation, a choice of unit, i.e. a CONVENTION, 95 and SI 2019). A function is not a constant: the former is filled by physics, the latter agreed by convention. The paper also takes a roll call of THREE DISTINCT ROOTS to the Lorentz group: group axioms (Ignatowski, 83) / the geometry of the invariant interval (Minkowski, 108) / causal order (Zeeman, this paper) - and only the order root lets the dilatation slip through. A further link: the final EPS axiom is THE SAME POINT INVERTED as the failure of Weyl's 1918 theory recorded in 96 - a headstone in one place, a cornerstone in the other. IMPORTANT (scope): a Layer-2 structural interpretation of established theorems; no new theorem, no new physics, no prediction. IT DOES NOT CLAIM THAT SPACETIME CAN BE CONSTRUCTED FROM LIGHT - what it records is the LIMIT of light, since EPS requires freely falling particles as an indispensable second input. It does not enter the discussion on the status of the EPS final step (adopting only the uncontested point that a further step is required), and it does not prove why 3+1 (Zeeman's dimension condition is one line for the census, not a derivation; 69/105). Agreement of the three roots is a signature, not a proof (100); no post-hoc numerical adjustment (101). The Layer-3 lens (reading light as building material) is quarantined with a non-scientific label and is not offered as a mechanism.

On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated.

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光はどこまで幾何を決めるか:共形構造で止まる二つの道(微分幾何と順序論)と、残る「スケール」の別根。

本体系は光速 c を繰り返し扱ってきた(63・66・83・95・108)。だが一度も正面から問わなかった問いがある=「光だけを与えられたとき、時空の幾何はどこまで決まるのか」。本稿はこれに確立された定理で答える、第2層の構造的解釈・別根センサスである。(i) エーレルス=ピラニ=シルト(EPS・1972):光線は共形構造(ヌル錐=計量を正の共形因子の分だけ除いたもの g 〜 Omega^2 g)を、自由落下粒子は射影構造(測地線の「まっすぐさ」)を定め、両者の両立からワイル構造が一意に決まる。ローレンツ計量へ至るにはさらに一歩=「第二時計効果の不在」を要する。(ii) ツィーマン(1964):ミンコフスキー時空(次元3以上)の因果順序を保つ全単射は、直交時間的ローレンツ変換・平行移動・スケーリングで生成される。連続性も線型性も仮定されていない(それらは結論である)。(iii) ホーキング=キング=マッカーシー(1976)/マラメント(1977):一般の(区別的な)時空でも、因果構造は共形構造・位相・微分構造を決める。まったく別の数学(微分幾何/順序論)から出発しながら、道は同じ壁に当たる=光と因果は計量を共形因子の分を除いて決め、そこで止まる。4次元ローレンツ計量の10成分のうち、光が決めるのは共形類の9成分であり、残る1成分=スケールは光では決まらない。本稿の芯:この「残るスケール」は一語で二つの別根である。EPSで残るのは時空上の関数(局所の共形因子。時計=第二時計効果の不在で潰れる・96)、ツィーマンで残るのは大域の定数(dilatation=単位の選択=規約・95/2019 SI)。関数は定数ではない=前者を埋めるのは物理、後者を埋めるのは規約。あわせてローレンツ群への到達路を三つの別根として点呼する=群の公理(イグナトフスキー・83)/不変間隔の幾何(ミンコフスキー・108)/因果順序(ツィーマン・本稿)。そして順序の根だけが dilatation を取り逃がす。もう一つの接続:EPSが最後に課す公理は、論文96が記録したワイル1918年理論の失敗と同じ論点の裏返しである=片方では墓碑銘、もう片方では礎石。重要(射程):確立された定理の構造的解釈(第2層)・新定理も新物理も予言もなし。「光から時空を構成できる」とは述べない=記録するのは光の限界であり、EPSは自由落下粒子を必須の第二入力として要する。EPS最終段の論証の身分には立ち入らない(追加の一歩が要る、という争いのない部分のみ)。「なぜ3+1次元か」は証明しない(ツィーマンの次元条件はセンサスへの一行であって導出ではない・69/105)。三つの根の一致は署名であって証明ではない(100)・数値の後知恵調整をしない(101)。第3層のレンズ(光を建築資材として読む)は非科学の札つきで隔離し、機構の主張としない。

作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。