A NEW MATHEMATICAL OPERATION: EXPERIMENTAL EVIDENCE, ALGEBRAIC STRUCTURE, AND OPEN QUESTIONS
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Este trabalho apresenta uma operação iterativa denominada Quadrado Permutado, construída pela composição de potenciação, permutação de dígitos, diferença entre permutações extremas e soma dos algarismos. O operador central da transformação é estudado sob uma perspectiva algébrica, sendo obtidas sua representação linear discreta, uma formulação em termos de diferenças simétricas entre dígitos e propriedades como a divisibilidade universal por nove. Além dos resultados demonstrados, são apresentados experimentos computacionais realizados na base decimal envolvendo mais de um milhão de números, os quais indicam fortemente a existência de um atrator igual a 18 para a operação com expoente dois. Esse comportamento é formulado como conjectura e distinguido explicitamente dos resultados demonstrados. O artigo também discute generalizações para outros expoentes e sequências de expoentes, aponta limitações da investigação e apresenta questões em aberto para pesquisas futuras. O trabalho situa-se no contexto da Matemática Experimental, combinando demonstrações formais com evidências computacionais para investigar a dinâmica de uma transformação sobre números inteiros.
Abstract (English)
This paper introduces an iterative operation called the Permuted Square, obtained by combining exponentiation, digit permutations, subtraction between the extreme digit permutations, and digit summation. The central operator of the transformation is investigated from an algebraic perspective, leading to a discrete linear representation, a formulation based on symmetric digit differences, and properties such as universal divisibility by nine. In addition to the proved results, extensive computational experiments in base ten involving more than one million integers provide strong evidence for the existence of a fixed attractor equal to 18 when the exponent is two. This convergence is explicitly presented as a conjecture supported by computational evidence rather than as a general theorem. The paper also discusses generalizations to higher exponents and exponent sequences, outlines the current limitations of the investigation, and proposes several open problems for future research. The work is framed within Experimental Mathematics, combining formal proofs and computational exploration to investigate the dynamics of a transformation on the integers.
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- Translated title (Portuguese)
- UMA NOVA OPERAÇÃO MATEMÁTICA: EVIDÊNCIAS EXPERIMENTAIS, ESTRUTURA ALGÉBRICA E QUESTÕES EM ABERTO