Triptych-GUT V6.1 — Spectral Closure of the Gravitational Coefficient ζ_grav^TC = 15/13 and 0.87 ppm Agreement on the Electroweak Scale

DESCRIPTION EN

 

Triptych-GUT V6.1 is a revised version of GUT V6 (DOI: 10.5281/zenodo.20554534). It retains all results of V6 and adds a spectral closure of the gravitational coefficient ζ_grav^TC, correcting a sign error present in V6.

 

V6.1 additions (§8). The global Hurwitz sum for the SO(5)/SO(4) spectrum of the conformal operator P₀ = −∇² + R/6 on S⁴ gives f(3) = +1/6 (convergent telescoping sum; V6 incorrectly used f(3) = −1/6) and f(0) = −1/90 (zeta-regularised). The canonical spectral invariant is R_H = −f(3)/f(0) = 15 = dim(adj SU(4)). The regularised dynamic subtrace ζ_P₀^dyn = f(3) + χ(S⁴)f(0) = 13/90 yields the gravitational spectral coefficient: ζ_grav^TC = f(3)/ζ_P₀^dyn = 15/13 [ESTAB], replacing the conditional value 23/20 of V6. Numerical impact on v_TC^conj: < 0.01 ppm; the prediction v_TC^conj = 246.219 785 GeV (−0.87 ppm vs v_PDG) is unchanged.

 

V6 content (retained). Triptych-GUT V6 is the direct continuation of GUT V5 and the G_N note V2. It analyses a precise metrological residual: the dimensional transmutation exponent s_TC = s_LO − 1/N_c differs from the observed value s_obs = ln(M_Pl_CODATA / v_PDG) by δs = −2.63×10⁻⁴ (−263 ppm). This residual is neither an NNLO term (algebraically zero under the exact properties ξ* = 1/6, λ* = 0, □x₀ = 0) nor an error on v (the required shift would be ~10³ times larger than the experimental uncertainty ~0.26 ppm derived from the Fermi constant G_F). V6 identifies the spectral structure of this residual: δs is the contribution of a spectral incidence projector P_BL, constructible from the operators {−D², Q_B−L, P_λ8} already present in S_TC, to the Seeley-DeWitt coefficient a₄. This projector has exact integer rank Tr(P_BL) = 217 = 31×7, where 31 counts the modes of the incidence sector SU(4)→SU(3)×U(1)_B−L with spectral Casimirs distinct from the standard adjoint and non-zero B−L charge, and 7 is the active adjoint sector after 2+1 polarisation. The associated spectral index invariant is ΔI = 217/360. The stability of this construction under all admissible UV corrections preserving the TC symmetry algebra Alg(−D², Q_B−L, P_λ8) is demonstrated. With M_Pl_CODATA as external input, the spectral correction ΔI = 217/360 reproduces v_PDG to −0.87 ppm without any adjusted free parameter.

 

Open point (i) of V6 is closed by V6.1: ζ_grav^TC = 15/13 [ESTAB]. The remaining open points are: (i) formal exclusion of non-admissible UV corrections (σ²R_μν R^μν couplings); (ii) general proof of the TC index condition beyond the classical regime; (iii) upgrade of P₃₁ from [ESTAB cond.] to [ESTAB]; (iv) future G_N metrology.

 

 

DESCRIPTION FR

 

Triptyque-GUT V6.1 est une version révisée de GUT V6 (DOI : 10.5281/zenodo.20554534). Elle conserve tous les résultats de V6 et ajoute une fermeture spectrale du coefficient gravitationnel ζ_grav^TC, en corrigeant une erreur de signe présente dans V6.

 

Apports V6.1 (§8). La somme de Hurwitz globale pour le spectre SO(5)/SO(4) de l’opérateur conforme P₀ = −∇² + R/6 sur S⁴ donne f(3) = +1/6 (somme télescopique convergente ; V6 utilisait incorrectement f(3) = −1/6) et f(0) = −1/90 (régularisation zêta). L’invariant spectral canonique est R_H = −f(3)/f(0) = 15 = dim(adj SU(4)). La sous-trace dynamique régularisée ζ_P₀^dyn = f(3) + χ(S⁴)f(0) = 13/90 donne le coefficient gravitationnel : ζ_grav^TC = f(3)/ζ_P₀^dyn = 15/13 [ÉTAB], remplaçant la valeur conditionnelle 23/20 de V6. Impact numérique sur v_TC^conj : < 0,01 ppm ; la prédiction v_TC^conj = 246,219 785 GeV (−0,87 ppm vs v_PDG) est inchangée.

 

Contenu V6 (conservé). Triptyque-GUT V6 est la suite directe de GUT V5 et de la note G_N V2. Il analyse un résidu métrologique précis : l’exposant de transmutation dimensionnelle s_TC = s_LO − 1/N_c diffère de la valeur observée s_obs = ln(M_Pl_CODATA / v_PDG) par δs = −2,63×10⁻⁴ (−263 ppm). Ce résidu n’est ni un terme NNLO (nul algébriquement sous les propriétés exactes ξ* = 1/6, λ* = 0, □x₀ = 0) ni une erreur sur v (le décalage requis serait ~10³ fois plus grand que l’incertitude expérimentale ~0,26 ppm issue de la constante de Fermi G_F). V6 identifie la structure spectrale de ce résidu : δs est la contribution d’un projecteur spectral d’incidence P_BL, constructible depuis les opérateurs {−D², Q_B−L, P_λ8} déjà présents dans S_TC, au coefficient de Seeley-DeWitt a₄. Ce projecteur a le rang entier exact Tr(P_BL) = 217 = 31×7, où 31 compte les modes du secteur d’incidence SU(4)→SU(3)×U(1)_B−L ayant des Casimirs spectraux distincts de l’adjoint standard et une charge B−L non nulle, et 7 est le secteur actif de l’adjoint après polarisation 2+1. L’invariant d’indice spectral associé est ΔI = 217/360. La stabilité de cette construction sous toutes les corrections UV admissibles préservant l’algèbre de symétrie TC Alg(−D², Q_B−L, P_λ8) est démontrée. Avec M_Pl_CODATA comme entrée externe, la correction spectrale ΔI = 217/360 reproduit v_PDG à −0,87 ppm sans paramètre libre ajusté.

 

Le point ouvert (i) de V6 est fermé par V6.1 : ζ_grav^TC = 15/13 [ÉTAB]. Les points ouverts restants sont : (i) l’exclusion formelle des corrections UV non admissibles (couplages σ²R_μν R^μν) ; (ii) la démonstration générale de la condition d’indice TC au-delà du régime classique ; (iii) le passage de P₃₁ de [ÉTAB cond.] à [ÉTAB] ; (iv) la confrontation aux futures mesures de G_N.