Detector de Coerência Espectral Ativa Derivada de \(K\): Ativação Filtrada, Resposta \(G(K)\), Tilt \(\rho_K(t)\) e Validação por Benchmark Sintético

Este trabalho apresenta um detector de coerência espectral ativa derivada de \(K\), voltado a sistemas não estacionários nos quais coerência clássica pode confundir fonte comum, fase compartilhada, potência espectral comum e acoplamento ativo. A contribuição é deslocar a análise da coerência entre sinais brutos para a coerência entre ativações espectrais filtradas.

A partir do espectro instantâneo \(P(\omega,t)\) e de um fundo \(Q(\omega)\), define-se a ativação
\[
\mathcal A_K(t)
=
\sum_j a_jP_j(t)
\ln\!\left(\frac{P_j(t)+\epsilon}{Q_j+\epsilon}\right),
\qquad
P=Q\Rightarrow \mathcal A_K=0.
\]
No regime linear regular,
\[
G(K,t)=1-C\alpha\mathcal A_K(t),
\]
e o tilt derivado é
\[
\rho_K(t)
=
\frac{d}{dt}
\ln\!\left[
1+\frac{\mathcal A_K(t)}{\mathcal A_0}
\right].
\]
Para dois canais,
\[
\Gamma_{\rho,K}^{AB}(\ell)
=
{\rm Corr}\!\left[
\rho_{K_A}(t),
\rho_{K_B}(t+\ell)
\right].
\]

O método separa ativação local em \(A\), ativação local em \(B\) e coerência temporal entre ativações, evitando inferir ativação do segundo canal apenas pela coerência entre sinais. A validação é feita por benchmark sintético com verdade conhecida, incluindo ausência de acoplamento, acoplamento com lag zero, acoplamento com lag conhecido, fonte comum, fonte anticomum e fonte embaralhada, além de controles por surrogates, eventos sham e holdout de lag.

A forma final do detector é
\[
P(\omega,t),Q(\omega)
\rightarrow
\mathcal A_K(t)
\rightarrow
G(K,t)
\rightarrow
\rho_K(t)
\rightarrow
\Gamma_{\rho,K}^{AB}(\ell).
\]
O detector mede ativação espectral local e coerência temporal entre ativações; não constitui, por si só, prova automática de transferência física ou causalidade final.