A Proof of the Star-Moon Conjecture via Fixed-Window Tower Sieve

星月猜想是一个受天文观测启发的数论猜想。在一个遥远的星系中,$t$颗行星以素数周期$P_1=2,P_2=3,P_3=5,\ldots,P_t$天绕恒星运行。一颗神秘的卫星在第$i$颗行星上遮挡观测日$d$,如果$d \equiv R_i \pmod{P_i}$或$d \equiv -R_i \pmod{P_i}$,其中$R_i = N \bmod P_i$,$N$是一个幸运数。

本文在平移塔式筛框架下给出该猜想的严格证明。我们首先引入允许剩余类集合$\mathcal{R}_i$的概念,它是由同余条件$\not\equiv \pm N \pmod{P_j}$($j\le i$)定义的模$Q_i$剩余类子集,具有精确的笛卡尔积结构。然后构造基础区间$B=[1,Q_t]$(完全剩余系)和观测区间$A=[1,L]$,其中$L$满足$P_t^2/2 \le L \le P_t^2 - N$,定义总区间$U = B \cup (Q_t + A)$。

利用$B$的完全剩余系性质,证明$B$部分的幸存点数精确等于$Q_t A_t$。利用$C = Q_t + A$的周期分解,证明:在每一层筛法中,完整周期内的幸存点与允许剩余类集合$\mathcal{R}_{i-1}$精确对应,因此完整周期偏差为零;对于不完整周期,通过分解为完整子块和残余,证明偏差有绝对常数上界$C_0 = 6$。这一分析不依赖于等差数列假设,只依赖于周期性和区间分解。

由此建立递推关系$N_i = N_{i-1}(1-2/P_i) - \Delta_i$,其中$|\Delta_i| \le C_0$。迭代得到下界$N_t \ge c P_t^2/(\ln P_t)^2 - C_0 t$,当$t \to \infty$时趋于无穷,从而证明猜想。该猜想直接蕴含孪生素数猜想、哥德巴赫猜想和波利尼亚克猜想等经典问题。