Operadores de Ativação Espectral e Tempo Próprio Efetivo em Circuitos: Derivação pelo Protocolo Ação--Fase do Fator \(G(K)\)

Este trabalho apresenta uma derivação variacional e espectral do fator geométrico \(G(K)\), associado à renormalização de tempo próprio efetivo em interfaces eletromagnéticas, circuitais e geométricas. No contexto do Protocolo Ação--Fase, parte-se da identificação
\[
    \phi_{\rm eff}=\frac{S_{\rm eff}}{\hbar},
\]
com uma ação efetiva única
\[
    S_{\rm eff}
    =
    S_{\rm padrao}
    +
    S_{\rm espectral}
    +
    S_{\rm int}.
\]
O operador de ativação é definido como o Hessiano variacional da ação,
\[
    K=\delta^2S_{\rm eff}\big|_{\mathcal C},
\]
evitando sua introdução como parâmetro fenomenológico.

No regime regular, \(K\) admite decomposição espectral,
\[
    K=\int_{\sigma(K)}\lambda\,dE_K(\lambda),
\]
e, para uma excitação \(\psi\), define-se a medida
\[
    d\mu_\psi^K(\lambda)
    =
    d\langle\psi,E_K(\lambda)\psi\rangle.
\]
A ativação relevante é a parte filtrada que se afasta do fundo estacionário, descrita pelo funcional
\[
    \mathcal A_K[\psi]
    =
    \int_{\sigma(K)}
    a(\lambda)\,d\mu_{\psi,{\rm ativo}}^K(\lambda),
    \qquad
    a(\lambda)\geq0.
\]
Dessa construção deriva-se a resposta geométrica regular de menor ordem,
\[
    G(K)=1-C\alpha\mathcal A_K[\psi]+O(\mathcal A_K^2),
\]
ou, no truncamento linear,
\[
    G(K)=1-C\alpha\mathcal A_K[\psi].
\]

Com \(0<G(K)\leq1\), a métrica efetiva é
\[
    g^{\rm ef}_{\mu\nu}=G(K)^{-1}g_{\mu\nu},
\]
e o tempo próprio efetivo obedece
\[
    d\tau_{\rm ef}=G(K)^{-1/2}d\tau.
\]
Mostra-se que a ativação espectral não introduz um segundo tempo e não altera sozinha a classe causal: setores nulos permanecem nulos,
\[
    d\tau=0
    \Longrightarrow
    d\tau_{\rm ef}=0.
\]
Assim, \(G(K)\) renormaliza tempos próprios já admissíveis, mas não transforma uma propagação nula ideal em tipo-tempo.

A grandeza \(\rho(t)\) é reinterpretada como observável derivado,
\[
    \rho_K(t)=\frac{d}{dt}\mathcal A_K[\psi](t),
\]
e não como fonte primitiva de \(G(K)\). O resultado fornece um núcleo derivativo sem ad hoc e sem cálculo circular, preparando aplicações posteriores a circuitos elétricos e eletrônicos por meio de
\[
    d\tau_{\rm circ}^{\rm ef}
    =
    G(K_{\rm circ})^{-1/2}
    dt\,
    \frac{\sqrt{\Delta_{\rm circ}}}{u_{\rm circ}},
    \qquad
    \Delta_{\rm circ}>0.
\]