基于平移塔式筛的波利尼亚克猜想证明

波利尼亚克猜想(1849)断言:对任意正整数 $k$,存在无穷多对素数 $(p, p+2k)$。本文在平移塔式筛框架下给出该猜想的严格证明。

我们首先引入允许剩余类集合 $\mathcal{R}_i$ 的概念,它是由同余条件 $\not\equiv \pm k \pmod{P_j}$($j\le i$)定义的模 $Q_i$ 剩余类子集,具有精确的笛卡尔积结构。然后构造基础区间 $B=[1,Q_t]$(完全剩余系)和观测区间 $A=[1,L]$,其中 $L=KQ_j$ 满足 $P_t^2/4 \le L \le P_t^2-k$,定义总区间 $U=B\cup(Q_t+A)$。

利用 $B$ 的完全剩余系性质,证明 $B$ 部分的幸存点数精确等于 $Q_tA_t$。利用 $C=Q_t+A$ 的周期分解,证明:在每一层筛法中,完整周期内的幸存点与允许剩余类集合 $\mathcal{R}_{i-1}$ 精确对应,因此完整周期偏差为零;对于不完整周期,通过分解为完整子块和残余,证明偏差有绝对常数上界 $C_0=6$。这一分析不依赖于等差数列假设,只依赖于周期性和区间分解。

由此建立递推关系 $N_i = N_{i-1}(1-2/P_i) - \Delta_i$,其中 $|\Delta_i| \le C_0$。迭代得到下界 $N_t \ge c P_t^2/(\ln P_t)^2 - C_0 t$,当 $t\to\infty$ 时趋于无穷,从而证明猜想。