A árvore Bastos: Construção de objeto matemático que cobre os ímpares positivos e implica a Conjectura de Collatz

(PT)

Título: A árvore Bastos: Construção de objeto matemático que cobre os ímpares positivos e implica a Conjectura de Collatz

Resumo

Apresentamos a árvore Bastos ℬ: estrutura matemática construtiva e autônoma, gerada a partir do número 1 por uma única operação Φ_a(M) = (M · 2^a − 1)/3 com admissibilidade modular derivada de M · 2^a ≡ 1 (mod 3). Diferentemente das abordagens forward sobre Collatz, que empregam descida, contração ou ergodicidade, a árvore parte da raiz 1 e gera os ímpares positivos por aplicação iterada de Φ_a. Desenvolvemos doze ferramentas estruturais internas — entre elas a identidade Φ_{a+2} = 4Φ_a + 1, famílias binárias, a forma fechada 2^S = 3^s · n + d_w que certifica algebricamente cada caminho, e a cota α̅ > log₂ 3 para a média de expoentes — além de três pilares aritméticos: boa-ordenação, ausência de α = 1 infinito (via ℤ₂) e ausência de ciclos não-triviais. Demonstramos que ℬ cobre exatamente ℕ⁺_ímpar pelo princípio de Peano combinado com a convergência das ferramentas: cada ímpar positivo é alcançado em finitos passos, e toda hipotética obstrução é estruturalmente impossível pela dualidade construtiva/exclusiva. A demonstração é construtiva por instância universal e não invoca argumentos probabilísticos, estatísticos ou assintóticos. Como corolário direto, pela inversão Bastos-Collatz, estabelecemos a Conjectura de Collatz.

MSC 2020: 11B83 (primária); 11A07, 11N99, 37P99 (secundárias)
Palavras-chave: árvore Bastos; cobertura construtiva; Conjectura de Collatz; princípio de Peano; identidade Φ_{a+2} = 4Φ_a + 1; forma fechada; admissibilidade modular; preservação total da informação; pilares estruturais; dualidade construtiva-exclusiva

(EN)

Title: The Bastos tree: Construction of a mathematical object covering the positive odd integers and implying the Collatz Conjecture

Abstract

We present the Bastos tree ℬ: a constructive and autonomous mathematical structure, generated from the number 1 by a single operation Φ_a(M) = (M · 2^a − 1)/3 with modular admissibility derived from M · 2^a ≡ 1 (mod 3). Unlike forward approaches employing descent, contraction or ergodicity, the tree starts from root 1 and generates the positive odd integers by iterated application of Φ_a. We develop twelve internal structural tools — among them the identity Φ_{a+2} = 4Φ_a + 1, binary families, the closed form 2^S = 3^s · n + d_w which algebraically certifies every path, and the bound α̅ > log₂ 3 on the average exponent — together with three arithmetic pillars: well-ordering, absence of infinite α = 1 (via ℤ₂), and absence of non-trivial cycles. We prove that ℬ covers exactly ℕ⁺_odd via Peano's principle combined with the convergence of the tools: every positive odd integer is reached in finitely many steps, and every hypothetical obstruction is structurally impossible by the constructive/exclusive duality. The proof is constructive by universal instance and invokes no probabilistic, statistical or asymptotic arguments. As a direct corollary, via the Bastos-Collatz inversion, we establish the Collatz Conjecture.

MSC 2020: 11B83 (primary); 11A07, 11N99, 37P99 (secondary)
Keywords: Bastos tree; constructive coverage; Collatz Conjecture; Peano's principle; identity Φ_{a+2} = 4Φ_a + 1; closed form; modular admissibility; total information preservation; structural pillars; constructive-exclusive duality