P-진법 캐리 역학: 초거리 트리 상의 정보 깊이 계층과 상태 표현 (P-adic Carry Dynamics: Information Depth Hierarchy and State Representation on Ultrametric Trees)

본 백서는 다차원 이산 격자 공간(Discrete Lattice Space)에서 발생하는 '자리올림(Carry)' 현상을 새로운 관점으로 해석한 'P-진법 캐리 역학(P-adic Carry Dynamics)' 프레임워크를 제안합니다.

고전적 산술 체계에서 캐리는 단순한 대수적 오버플로우로 간주되지만, 본 연구에서는 이를 위상 공간의 정보 표현 한계로 인해 발생하는 필연적인 '상태 공간 확장의 기하학적 트리거'로 정의합니다. 쿰머의 정리(Kummer's Theorem)를 기반으로 캐리 발생 횟수($J_p$)가 상태 노드의 정보 심도($I_p$)와 일치함을 유도하며, 이를 통해 초거리 트리(Ultrametric Tree) 상에서 정보 깊이 계층(Information Depth Hierarchy)이 대수적 고정점으로 보존되는 기하학적 매핑 과정을 모델링합니다.

본 이론은 물리적 하드웨어의 위상적 한계를 극복하고, 향후 3차원 희소 라우팅(Sparse Routing) 및 고효율 AI 연산 아키텍처 설계를 위한 순수 수학적 기초 프레임워크를 제공합니다.

This whitepaper proposes the 'P-adic Carry Dynamics' framework, offering a novel mathematical interpretation of the 'carry' phenomenon within multidimensional discrete lattice spaces.

While classical arithmetic treats carries as simple algebraic overflows, this study redefines them as 'geometric triggers for state space expansion,' which inevitably occur due to the limitations of information representation within a topological base space. Based on Kummer's Theorem, we demonstrate that the number of carries ($J_p$) mathematically corresponds to the depth of information ($I_p$) of a state node. Furthermore, we model a geometric mapping process where this Information Depth Hierarchy is stably conserved as topological anchors across an Ultrametric Tree.

This theoretical framework overcomes the topological limitations of physical hardware and provides a foundational mathematical model for designing 3D sparse routing and highly efficient AI computational architectures in the future.