A árvore Bastos: Construção de objeto matemático que cobre os ímpares positivos e implica a Conjectura de Collatz

(PT)

Título: A árvore Bastos: Construção de objeto matemático que cobre os ímpares positivos e implica a Conjectura de Collatz

Resumo

Apresentamos a árvore Bastos ℬ: estrutura matemática construtiva e autônoma, gerada a partir do número 1 por uma única operação Φ_a(M) = (M · 2^a − 1)/3 com admissibilidade modular derivada de M · 2^a ≡ 1 (mod 3). Diferentemente das abordagens forward sobre Collatz, que empregam descida, contração ou ergodicidade, a árvore parte da raiz 1 e gera os ímpares positivos por aplicação iterada de Φ_a. Desenvolvemos ferramentas estruturais internas — entre elas a identidade Φ_{a+2} = 4Φ_a + 1, famílias binárias, a forma fechada 2^S = 3^s · n + d_w que certifica algebricamente cada caminho, e a cota α̅ > log₂ 3 para a média de expoentes — e estabelecemos as propriedades estruturais da árvore (boa-ordenação, antecessor único na subida, Lei dos Irmãos). Demonstramos que ℬ cobre exatamente ℕ⁺ímpar por dois caminhos de prova interdependentes: a via da construção (Caminho 1), onde o erro terminal e o travamento s_k = v_2(R_{k+1}) determinam, sem grau de liberdade, a composição finita do 1 que codifica cada n; e a via da comparação (Caminho 2), onde a subida do 1 atinge toda classe coprima a 3 mod 3^b para todo b (via Gauss: 2 é raiz primitiva mod 3^k para todo k), e a ausência de ciclos (r cresce a cada giro) fecha a cobertura pontual. A demonstração é estritamente forward na árvore Bastos (= construindo do 1 ao alvo, jamais retornando ao 1) e interna, sem argumentos probabilísticos, estatísticos, ergódicos ou transcendentes. Como corolário direto, pela inversão Bastos-Collatz, estabelecemos a Conjectura de Collatz.

MSC 2020: 11B83 (primária); 11A07, 11N99, 37P99 (secundárias)

Palavras-chave: árvore Bastos; cobertura construtiva; Conjectura de Collatz; identidade Φ_{a+2} = 4Φ_a + 1; forma fechada; admissibilidade modular; caminho da construção; caminho da comparação; cobertura por resolução; Gauss

(EN)

Title: The Bastos tree: Construction of a mathematical object covering the positive odd integers and implying the Collatz Conjecture

Abstract

We present the Bastos tree ℬ: a constructive and autonomous mathematical structure, generated from the number 1 by a single operation Φ_a(M) = (M · 2^a − 1)/3 with modular admissibility derived from M · 2^a ≡ 1 (mod 3). Unlike forward approaches employing descent, contraction or ergodicity, the tree starts from root 1 and generates the positive odd integers by iterated application of Φ_a. We develop internal structural tools — among them the identity Φ_{a+2} = 4Φ_a + 1, binary families, the closed form 2^S = 3^s · n + d_w which algebraically certifies every path, and the bound α̅ > log₂ 3 on the average exponent — and establish the tree's structural properties (well-ordering, unique predecessor in the ascent, Siblings' Law). We prove that ℬ covers exactly ℕ⁺odd via two interdependent proof paths: the path of construction (Path 1), where the terminal error and the locking s_k = v_2(R_{k+1}) determine, without any degree of freedom, the finite composition from 1 that encodes each n; and the path of comparison (Path 2), where the ascent from 1 reaches every class coprime to 3 mod 3^b for all b (via Gauss: 2 is a primitive root mod 3^k for all k), and the absence of cycles (r grows with each turn) closes the pointwise coverage. The proof is strictly forward on the Bastos tree (= building from 1 to the target, never returning to 1) and internal, without probabilistic, statistical, ergodic or transcendent arguments. As a direct corollary, via the Bastos-Collatz inversion, we establish the Collatz Conjecture.

MSC 2020: 11B83 (primary); 11A07, 11N99, 37P99 (secondary)

Keywords: Bastos tree; constructive coverage; Collatz Conjecture; identity Φ_{a+2} = 4Φ_a + 1; closed form; modular admissibility; path of construction; path of comparison; coverage by resolution; Gauss