Recursively Reducible Structures in High-Genus Riemann Theta Functions

This work reports a structure-dependent computational phenomenon in high-genus Riemann theta functions.

While the evaluation of theta functions is generally considered intractable due to exponential complexity, we observe that, under specific structural conditions (notably S(2,2)-type configurations), the effective dimensionality of the problem can be reduced recursively. This leads to a significant deviation from exponential scaling and enables exact evaluation in ultra-high-dimensional regimes (e.g., g>104g > 10^4g>104).

The observed behavior does not rely on trivial block-diagonal factorization or classical degeneration limits, but instead suggests the presence of an intermediate class of structured period matrices that admit recursive reduction during evaluation.

We refer to this behavior provisionally as recursively reducible theta structures. This report focuses on the computational observation and its implications, rather than providing a complete formal classification.

An implementation supporting these observations is publicly available.

----

本研究では、高次元リーマンθ関数における構造依存の計算現象について報告する。

一般にθ関数の評価は指数的計算量のため高次元では実質的に不可能とされてきたが、特定の構造(特に S(2,2) 型構造)を持つ周期行列においては、評価過程で実効次元が再帰的に縮約される現象が観測された。これにより、計算量は指数的増大から大きく逸脱し、g>10^4のような超高次元領域においても exact 計算が可能となる。

この挙動は、単純なブロック対角化や従来の退化極限には依存せず、評価過程において再帰的縮約を許す中間的な構造クラスの存在を示唆するものである。

本稿ではこの現象を暫定的に「再帰的可約θ構造」と呼び、その計算的特徴と意義を報告する。なお、本研究は完全な理論的分類ではなく、観測および実装に基づく報告である。

対応する実装は公開されている。