IntrixKey Research Series — Part XVI : Probabilistic Formulation and Statistical Dynamics of Configuration-Aware Inverse
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Description
The objective of the article is to reformulate IntrixKey as a probabilistic theory of inverse problems based on distributions with gradient flow/ Fokker–Planck dynamics. Indeed, the space of probability measures is equipped with a Wasserstein geometry, which allows to interpret the reconstruction as a gradient flow in the space of distributions. The dynamic description of the stationary solution inference process corresponds to a Gibbs type distribution over admissible configurations. The article studies configuration measures and probability spaces. Bayesian interpretation allows for a posteriori formulation. This leads to a flow theorem with Wasserstein gradient and convergence towards the distribution. Generative models have a role and generative AI acts as a calculable approximation of the intrinsic distribution of data. It allows to simulate, interpolate or extrapolate configurations without explicitly accessing the underlying distribution. The article shows the transition of inverse problems from a single, deterministic solution to a distribution of solutions. The links in physics with the Z partition function are discussed. Inverse problems and probabilistic learning reuse statistical physics tools (partition, free energy) to model distributions ρ(φ) that balance cost (energy) and diversity (entropy), just like a physical system at equilibrium with however limits and perspectives.
Abstract (French)
L'objectif de l’article est de reformuler IntrixKey comme une théorie probabiliste des problèmes inverses basée sur des distributions avec une dynamique de type gradient flow / Fokker–Planck. En effet, l'espace des mesures de probabilité est muni d'une géométrie de Wasserstein, ce qui permet d'interpréter la reconstruction comme un flux de gradient dans l'espace des distributions. La description dynamique du processus d'inférence de solution stationnaire correspond à une distribution de type Gibbs sur les configurations admissibles. L'article étudie les mesures de configuration et espaces de probabilité. L'interprétation bayesienne permet une formulation a posteriori. Cela conduit à un théorème d'écoulement à gradient de Wasserstein et convergence vers la distribution. Les modèles génératifs ont un rôle et l’IA générative agit comme une approximation calculable de la distribution intrinsèque des données. Elle permet de simuler, interpoler ou extrapoler des configurations sans accéder explicitement à la distribution sous-jacente. L'article montre le passage des problèmes inverses d’une solution déterministe, unique, à une distribution de solutions. Les liens en physique avec la fonction de partition Z sont abordés. Les problèmes inverses et l’apprentissage probabiliste réutilisent les outils de la physique statistique (partition, énergie libre) pour modéliser des distributions ρ(ϕ) qui équilibrent coût (énergie) et diversité (entropie), tout comme un système physique à l’équilibre avec cependant des limites et des perspectives.
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art-XVI_FR.pdf
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- Is supplemented by
- Report: 10.5281/zenodo.19219561 (DOI)