Amélioration des images de scanner pour une meilleure interprétation médicale

En sciences expérimentales, il est rare de pouvoir accéder directement à la grandeur
physique d’intérêt, notée f, que ce soit pour en étudier sa distribution spatiale f(r), sa
variation temporelle f(t), ou encore son évolution spatio-temporelle f(r, t). Très souvent,
la grandeur que l’on souhaite mesurer doit être observée au travers d’un capteur, qui
constitue un système d’acquisition intermédiaire entre le phénomène réel et les données
disponibles(Mohammad-Djafari, 2007). Par exemple, il est presque impossible de mesurer directement la température f(t)
en un point sans l’intermédiaire d’un dispositif capteur. Celui-ci, comme un thermomètre,
possède une certaine inertie thermique qui altère la fidélité de la mesure, surtout lorsque
la température varie rapidement. De manière analogue, un microphone sera limité dans
sa capacité à capter des sons très aigus du fait de sa bande passante finie.
Mathématiquement, dans de nombreux cas, le comportement du capteur est modé-
lisé par un système linéaire invariant par translation, représenté par une convolution :
g(t) = Z f(t′)h(t - t′) dt′, où g(t) est la mesure observée, f(t) la grandeur réelle, et h(t) la réponse impulsionnelle du capteur. Dans le domaine fréquentiel, cette relation se traduit par une simple
multiplication : G(ω) = F (ω)H(ω), où H(ω) est la réponse fréquentielle du système.
Face à cette situation, trois grands types de problèmes peuvent être
identifiés(Mohammad-Djafari, 2007) :
— Identification : déterminer h(t) à partir de f(t) et g(t).
— Analyse directe : prédire g(t) connaissant f(t) et h(t).
— Problème inverse (déconvolution) : retrouver f(t) à partir de g(t) et h(t).
En théorie, ces calculs semblent simples. Toutefois, dans la pratique, les problèmes
inverses se révèlent très délicats à traiter, en raison :
— du bruit de mesure affectant g(t),
— de l’imperfection du modèle h(t),
— de la bande passante limitée du système d’acquisition.
Ces défis sont particulièrement prononcés en imagerie médicale, et notamment en
tomodensitométrie à rayons X (CT-scan), où l’on cherche à reconstruire une distribution
 spatiale f(x, y) à partir de projections intégrales. Dans ce contexte, la transformée de
Radon modélise l’opération d’acquisition, et le problème inverse associé (retrouver f) est
notoirement mal posé et sensible au bruit.
Pour pallier cette instabilité, diverses techniques de régularisation sont nécessaires.
Parmi celles-ci, la Total Variation (TV) est largement utilisée pour imposer des contraintes
de lissage sur la solution. Cependant, la TV classique présente des limitations, telles que
l’apparition d’artefacts en escalier dans les reconstructions (effet de "staircasing").
Afin d’améliorer la qualité de reconstruction, nous introduisons dans ce travail une
approche basée sur la Hessian Total Variation (HTV), qui pénalise non seulement les
variations abruptes de la fonction, mais également ses changements de courbure. Cette ré-
gularisation plus fine favorise des reconstructions plus naturelles, où les régions homogènes
et les transitions douces sont mieux préservées‘(Esser, Guasch, Van Leeuwen, Aravkin, &
Herrmann, 2018). Ce travail d’étude et de recherche(TER) propose ainsi une étude complète d’une
solution en domaine continu pour la tomodensitométrie, incluant l’approximation de la
fonction inconnue par une base spline adaptée, la construction exacte du modèle d’acquisition, et l’intégration de la régularisation HTV dans une méthode d’optimisation
moderne(Loli Piccolomini, 2022).