The Tesla Matrix (3-6-9) in Fibonacci and Lucas and its connections with deterministic filtering of prime candidates

Description

Abstract (English)

We introduce the Tesla Matrix, a modular-digital framework that organises the natural numbers into residue-class columns (digital roots mod 9) coupled with the candidate rails 6k±1. Within this structure, the step-4 subsequences FT_n := F_{4n} (FiboTeslas) and LT_n := L_{4n−1} (LucaTeslas) exhibit exact periodic constraints in digital root and admit accelerated integer recurrences (the “7-engine”). The author deliberately uses the term “vibration” as a Tesla-inspired conceptual label for digital roots, motivated by the heuristic viewpoint that such patterns reveal an internal numerical signature.

This revised version clarifies that, in the LucaTesla branch, candidate slots are occupied by digital-root vibrations 3 and 9 (not 6), while LTv6 does not correspond to candidate indices. It also clarifies that jumps of 3 Tesla sub-indices correspond to jumps of 12 indices in the original Fibonacci/Lucas sequences. In addition, the previously missing Section 7.2 has now been explicitly restored, covering the internal recurrence of FiboTeslas and its computational validation.

We present the Salas-Dual Bridge LT_n = FT_n − FT_{n−1} (n≥2) and its telescoping corollary FT_n = Σ_{k=1..n} LT_k (with FT_0 = 0), which links the two Tesla substructures and supports fast consistency checks. In the sieve chapters, composite columns are described as periodic families induced by prime masks and CRT composition, yielding a structured prefilter over 6k±1 candidates. The manuscript is linked to a separate reproducibility package (code and demonstrative tables), while this record focuses on the revised paper itself.

Abstract (Spanish)

Presentamos la Matriz de Tesla, un marco modular-digital que organiza los números naturales en columnas por clases residuales (raíces digitales mod 9) acopladas a los rieles candidatos 6k±1. Dentro de esta estructura, las subsecuencias de salto 4 FT_n := F_{4n} (FiboTeslas) y LT_n := L_{4n−1} (LucaTeslas) muestran restricciones periódicas exactas en raíz digital y admiten recurrencias enteras aceleradas (el “motor 7”). El autor utiliza deliberadamente el término “vibración” como etiqueta conceptual inspirada en Tesla para referirse a las raíces digitales, motivado por la idea heurística de que esos patrones revelan una firma numérica interna.

Esta versión revisada aclara que, en la rama LucaTesla, los slots candidatos quedan ocupados por vibraciones de raíz digital 3 y 9 (no 6), mientras que LTv6 no corresponde a índices candidatos. También aclara que los saltos de 3 subíndices Tesla equivalen a saltos de 12 índices en las sucesiones originales de Fibonacci/Lucas. Además, el apartado 7.2, que faltaba en versiones anteriores, ha sido restituido explícitamente e incorpora la recurrencia interna de los FiboTeslas y su validación computacional.

Se expone el Puente Salas-Dual LT_n = FT_n − FT_{n−1} (n≥2) y su corolario telescópico FT_n = Σ_{k=1..n} LT_k (con FT_0 = 0), que vincula ambas subestructuras Tesla y permite comprobaciones rápidas de consistencia. En los apartados de tamiz, las columnas compuestas se describen como familias periódicas inducidas por máscaras de primos y composición por CRT, proporcionando un prefiltro estructurado sobre candidatos 6k±1. El manuscrito se vincula a un paquete de reproducibilidad independiente (código y tablas demostrativas), mientras que este registro se centra en el paper revisado propiamente dicho.

Other (English)

Indexing note (EN): Throughout the manuscript, Fibonacci and Lucas are defined using the 1-based convention (e.g., L₁=2, L₂=1). When software or external sources use the 0-based convention (L₀=2, L₁=1), the relation is a one-index shift: L(n) [1-based] = L(n−1) [0-based].

Other (Spanish)

Nota de indexación (ES): En todo el manuscrito, Fibonacci y Lucas se definen con convención 1-based (p. ej., L₁=2, L₂=1). Cuando en software o fuentes externas se use la convención 0-based (L₀=2, L₁=1), la relación es un desplazamiento de un índice: L(n) [1-based] = L(n−1) [0-based].