QUELQUES NOMBRES DE NIVEN-HARSHAD PARTICULIERS

En mathématiques récréatives, un nombre de Niven (ou nombre Harshad ou nombre multinumérique) est un entier naturel n non nul qui est divisible, dans une base donnée, par la
somme S1 de ses chiffres.Définis dans les années 1970, ces nombres ont depuis été régulièrement étudiés par plusieurs auteurs ([1], [2], ..., [17], [19]).En base 10, tous les nombres de 1 à 10 inclus sont de Niven, on a ensuite 12, 18, 20, 21, 24, ..., 2022, 2023, 2024, 2025, ..., 142857, ...([OE1])Un nombre est dit de Niven complet (ou complètement Harshad) s'il est de Niven dans toutes les bases; c'est le cas uniquement de 1, 2, 4, 6.De manière générale, dans une base b, tous les nombres de 1 à b et toutes les puissances de b sont des nombres de Niven et aucun nombre premier strictement supérieur à b n'est de Niven.En base 10, les factorielles de tous les entiers inférieurs ou égaux à 431 sont des nombres de Niven, 432! est la plus petite factorielle à ne pas être un nombre de Niven.Dans toute base, il y a une infinité de nombres de Niven ([19]), qui sont de la forme n = K*S1, K étant un entier quelconque.En revanche, pour un K bien spécifié, qui sera soit un entier donné, soit une fonction donnée des chiffres de ce n, on montrera, dans la plupart des cas considérés ici, qu'il n'y a qu'un nombre fini et surtout petit (de l'ordre de la dizaine) de ces nombres de Niven particuliers qui, par ailleurs, sont petits (au plus 13 chiffres).On envisage ici diverses classes de tels nombres de Niven (presque uniquement) en base 10, tout d'abord les nombres de Niven de la forme n = m * S1, m étant un entier quelconque mais donné.On étudie aussi, les nombres de Niven de la forme n = S1*P, P étant le produit des chiffres non nuls de n; on les appelle encore les nombres SP ([SPi], i=1 à 9). On donnera quelques résultats sur des nombres SP en base quelconque (de 2 à 12).On considère ensuite des nombres égaux au produit d'une certaine puissance t >= 0 de la somme S1 de ses chiffres par une certaine puissance r >= 0 de la somme S2 des carrés de ses chiffres. On parlera de nombres de Niven de type (t, r).Pour t = 0 les solutions éventuelles ne sont pas nécessairement des nombres de Niven, mais permettent d'exhiber quelques nombres remarquables (au sens de (18]). On peut montrer facilement qu'il n'y en a aucune supérieure à 1 pour r = 1 ou 2, mais on peut trouver la solution n = 8365427 pour r = 3, n = 285610000 pour r = 4, ..., résultats tout à fait compatibles avec les nombres remarquables signalés dans [18]. Par exemple 8365427 = 2033 confirme la propriété 8 ([18]) concernant 203, seul nombre supérieur à 1 égal à la somme des carrés des chiffres de son cube. Une modification du type (0,1) nous permet d'exhiber les nombres narcissiques parfaits ([OE4]) et nos nombres r-narcissiques parfaits ([18], [20]).On étend aussi les types (t, r) en remplaçant la somme S2 par la somme Sp d'une certaine puissance (p > 2) des chiffres du nombre n; on traitera quelques cas p = 3 de type 3(t, r) et p = 4 de type 4(t,r). Enfin quelques extensions à (S1)t * P, t = 2, 3, 4 ou à des nombres non nécessairement Niven comme factorions et primorions (les primorions étant aux primorielles ce que sont les factorions aux factorielles) sont envisagées; on détermine en particulier tous les factorions et primorions en base de 2 à 12.Les applications associées aux divers nombres considérés ici sont le plus souvent des transformations agréables ([18]) et les itérations correspondantes possèdent donc un nombre fini d'attracteurs (points fixes et cycles d'ordre fini).