Ecuaciones fundamentales en la dinámica de Collatz: una reformulación algebraica

En este artículo se presenta una reformulación algebraica de la dinámica de Collatz. A partir de la descomposición de las órbitas en pasos impares y divisiones sucesivas, se definen dos cantidades fundamentales P_k y Q_k que satisfacen una identidad principal y un invariante universal. Se obtienen expresiones cerradas para P_k y Q_k en función del número inicial, el número actual y las sumas acumuladas de divisiones. Además, se introduce una suma ponderada S_k que determina el signo de Q_k y se deduce una condición necesaria para la existencia de ciclos no triviales. Finalmente, se recupera la parametrización clásica de los números que alcanzan 1 y se discute su relación con trabajos previos del autor sobre los "pares gemelos" en la órbita de Collatz. El trabajo proporciona herramientas algebraicas rigurosas que pueden ser útiles para futuras investigaciones sobre la conjetura de Collatz.

Palabras clave: Conjetura de Collatz; problema 3n+1; órbitas; ciclos; reformulación algebraica; teoría de números.