Pares gemelos en la órbita de Collatz

Este artículo presenta un descubrimiento original sobre la dinámica de la función de Collatz. Se definen dos invariantes fundamentales de cada órbita: el número de pasos impares k(n) y la suma total de divisiones c(n). A partir de ellos, se introduce el concepto de pares gemelos de Collatz: pares de números (a, a+d) tales que k(a) = k(a+d) = k y c(a) = c(a+d) = 2k. Mediante una exploración computacional exhaustiva (para d hasta 200) se verifica la existencia de estos pares para cada desplazamiento d.

La demostración principal es constructiva y utiliza el árbol inverso de Collatz, así como el teorema chino del resto. Se muestra que, fijado cualquier d y cualquier número de pasos impares r, es posible construir un punto de encuentro X y dos caminos desde X (mediante operaciones inversas) que producen números A y B con B-A = d y que satisfacen la condición de pares gemelos. Como consecuencia, se demuestra que existen infinitos pares gemelos para cada d y, por tanto, infinitos ciclos de longitud 2 en la red definida por la relación k(n) + k(n+d) = c(n).

El trabajo incluye una tabla con los primeros 50 pares encontrados y referencias a la bibliografía relevante. Este resultado revela una estructura profunda en la dinámica de Collatz y abre nuevas preguntas sobre la posible relación con la conjetura original.