Secteurs de masse fermioniques depuis la géométrie causale discrète du pentachoron

Résumé (Français)

Titre : Secteurs de masse fermioniques depuis la géométrie causale discrète du pentachoron

Résumé : Cet article démontre que la géométrie discrète du pentachoron $K_5$, structurée par une partition causale (2, 1, 2) et la constante fondamentale $\alpha^* = 1/(4 \ln 2)$, fournit une solution géométrique au problème des secteurs de masse du Modèle Standard. En appliquant la fibration de Hopf $S^1 \rightarrow S^3 \rightarrow S^2$ au plan complexe de l'équation caractéristique du système, nous dérivons trois angles de secteur ($\varphi_{qb}$, $\varphi_{qh}$, $\varphi_{lep}$) en accord avec les données expérimentales PDG 2024 à mieux que $0,2^\circ$ sans aucun paramètre libre. Une contrainte algébrique exacte $\varphi_{qb} + \varphi_{qh} = \pi/3$ est établie pour les secteurs quarks.

L'étude révèle également une structure logarithmique sous-jacente où les couplages causaux s'expriment comme des puissances entières consécutives d'une unité de saut $u = \exp(\alpha^*/4)$. Par une preuve par l'absurde, nous établissons que si la géométrie statique du pentachoron définit les secteurs, les hiérarchies de masse intra-famille relèvent nécessairement d'un mécanisme dynamique lié au flot du groupe de renormalisation. Enfin, la démonstration de la quantité $Q_{lep} = 1/2$ permet de prédire la masse de l'électron avec une précision de 0,07%. Ce travail jette un pont entre la géométrie discrète et le spectre de masse fermionique, ouvrant la voie à la dérivation du rapport baryon-sur-photon dans les travaux ultérieurs.

Abstract (English)

Title: Fermion Mass Sectors from the Discrete Causal Geometry of the Pentachoron

Abstract: This paper demonstrates that the discrete geometry of the $K_5$ pentachoron, structured by a (2, 1, 2) causal partition and the fundamental constant $\alpha^* = 1/(4 \ln 2)$, provides a geometric solution to the mass sector problem of the Standard Model. By applying the Hopf fibration $S^1 \rightarrow S^3 \rightarrow S^2$ to the complex plane of the system's characteristic equation, we derive three sector angles ($\varphi_{qb}$, $\varphi_{qh}$, $\varphi_{lep}$) that align with PDG 2024 experimental data to within $0.2^\circ$ without any free parameters. An exact algebraic constraint $\varphi_{qb} + \varphi_{qh} = \pi/3$ is established for the quark sectors.

The study further reveals an underlying logarithmic structure where causal couplings are expressed as consecutive integer powers of a jump unit $u = \exp(\alpha^*/4)$. Through a proof by contradiction, we establish that while the static geometry of the pentachoron defines the sectors, intra-family mass hierarchies necessarily arise from a dynamic mechanism linked to the renormalization group flow. Finally, demonstrating the quantity $Q_{lep} = 1/2$ allows for the prediction of the electron mass with 0.07% precision. This work bridges discrete geometry and the fermion mass spectrum, paving the way for the derivation of the baryon-to-photon ratio in subsequent research.