Differences of Squares in Fixed Arithmetic Progressions for Semiprimes from Modulo 90

EN: This work derives representations as differences of squares in arithmetic progressions for semiprimes partitioned into 24 coprime residue classes mod 90 [1]. The residue pairs for each r generate initial bases a0, b0 with common step k = 90, yielding two families of progressions partitioned by the parity of the penultimate digit of N.

Differences X^2 - Y^2 generate all semiprimes congruent to r mod 90 when extended to infinity. Given N and r = N mod 90, candidate indices i_cand ~ (sqrt(N) - a0)/90 allow recovery of X and Y in a bounded range.

When the progressions are known, the method illustrates limits to security for structured N, enabling efficient factorization in specific generated scenarios by reducing the search to one dimension through verification that X^2 - N is in the Y progression.

ES: Este trabajo deriva representaciones como diferencias de cuadrados en progresiones aritméticas para semiprimos divididos en 24 clases de residuos coprimos mod 90 [1]. Las parejas de residuos para cada r generan bases iniciales a0, b0 con paso común k = 90, produciendo dos familias de progresiones divididas por la paridad del penúltimo digito de N.

Diferencias X^2 - Y^2 generan todos los semiprimos congruentes con r mod 90 al extenderse al infinito. Dado N y r = N mod 90, índices candidatos i_cand ~ (sqrt(N) - a0)/90 permiten recuperar X e Y en un rango acotado.

Cuando las progresiones son conocidas, el método ilustra límites a la seguridad para N estructurados, permitiendo factorización eficiente en escenarios generados específicos al reducir la búsqueda a una dimensión mediante verificación de que X^2 - N está en la progresión Y.