Published January 15, 2026 | Version v1
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マクロ整数論:数論的統計力学と臨界現象 ―― 数論的BECとヘッセ退化に基づく普遍性とスケーリング ――

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Description

本稿は,コラッツ型整数力学を出発点として,マクロ整数論(数論的統計力学)と

臨界現象を同一の言語で記述する統一枠組みを提示する.

ミクロ状態として ABN/CPE の完全配置を採用し,そこから誘導される構造量

$(\mu,\CS,\HK,\BB)$(および一般化に伴う相互作用距離)をもとに,

厳密な組合せ論的状態数 $\Omega$ とエントロピー $\Sinfo=\log\Omega$ を定義する.

第一部では,固定 $(\mu,\CS,\HK)$ における $\Omega$ の厳密式と典型分配を与え,

確率論的仮定や熱浴の導入に依存しない「数え上げ」による統計力学的描像を構成する.

第二部では一般化コラッツ系へ拡張し,有限レンジの相互作用(キャリーの伝播)に基づく

分類の見取り図を与える.

第三部の核心は,数論的 Bose--Einstein 凝縮(数論的BEC)と

ヘッセ行列のランク落ち(退化)が最小機構として働き,

数学の内部に普遍性とワンパラメータスケーリングが自然に立ち上がる点にある.

この機構により,繰り込み群や連続極限を前提とせずに,

臨界指数の拘束と具体的な見積もり手順を与える.

本枠組みは,数論・離散力学・統計力学・臨界現象を橋渡しし,

数学的構造を臨界現象研究へ持ち込むための基盤を与える.

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References

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