A Geometric Model of Prime Number Distribution Based on the Quadratic Structure of Composite Numbers

This paper presents a geometric model for the distribution of prime numbers, based on the analysis of the structure of composite numbers through a lattice of odd multipliers. It is shown that the squares of odd numbers serve as a natural axis of symmetry for the multipliers and determine the maximum scale of the local lattice. Based on this model, an explicit formula is derived for calculating the number of odd composite numbers in the range up to p², where pp is an odd number. The formula demonstrates exact agreement with actual data up to 27²=729.

The relationship between the obtained geometric structure and the classical analytical approach to the distribution of prime numbers, as well as the Riemann Hypothesis, is discussed. It is shown that the appearance of the coefficient ½ in the line of nontrivial zeros of the zeta function ℜ(s)= ½ can be intuitively explained by the quadratic structure of the range and the corresponding transformation under the logarithm in the integral form of the estimate of the function π(x).

Prospects for model development.
The presented model, limited to odd numbers, naturally allows extension to include even multipliers. This may lead to a complex structure where quadratic symmetry corresponds to the real axis ℜ(s)=½, while the inclusion of even numbers introduces an imaginary component. This opens a path toward a geometric interpretation of the Riemann Hypothesis via the lattice of multipliers.

В работе представлена геометрическая модель распределения простых чисел, основанная на анализе структуры составных чисел через решётку нечётных множителей. Показано, что квадраты нечётных чисел выступают в роли естественной оси симметрии для множителей и определяют максимальный масштаб локальной решётки. На основе этой модели выведена явная формула для подсчёта количества нечётных составных чисел в диапазоне до p², где p — нечётное число. Формула демонстрирует точное соответствие с фактическими данными вплоть до 27²=729.

Обсуждается связь полученной геометрической структуры с классическим аналитическим подходом к распределению простых чисел и гипотезой Римана. Показано, что появление коэффициента ½ в линии нетривиальных нулей дзета-функции ℜ(s)= ½ может быть интуитивно объяснено квадратной структурой диапазона и соответствующим преобразованием под логарифмом в интегральной форме оценки функции π(x).

Перспективы развития модели.
Рассмотренная модель, ограниченная нечётными числами, естественным образом допускает расширение на случай чётных множителей, что может привести к появлению комплексной структуры, в которой квадратичная симметрия соответствует вещественной оси ℜ(s)=½, а учёт чётных чисел — мнимой составляющей. Это открывает путь к геометрической интерпретации гипотезы Римана через решётку множителей.

Жұмыста жай сандардың таралуының геометриялық моделі ұсынылған, ол жұп емес көбейткіштер торы арқылы құрама сандардың құрылымын талдауға негізделген. Жұп емес сандардың квадраттары көбейткіштер үшін табиғи симметрия осі ретінде әрекет ететіні және жергілікті тордың максималды масштабын анықтайтыны көрсетілген. Осы модель негізінде p² дейінгі ауқымдағы жұп емес құрама сандардың санын есептеу үшін айқын формула шығарылды, мұндағы pp — жұп емес сан. Формула 27²=729 дейінгі деректермен дәл сәйкес келетіні көрсетілген.

Алынған геометриялық құрылымның жай сандардың таралуының классикалық аналитикалық тәсілімен, сондай-ақ Риман гипотезасымен байланысы талқыланады. Дзета функциясының тривиальды емес нөлдер түзуіндегі ℜ(s)= ½ коэффициентінің пайда болуы ауқымның квадраттық құрылымымен және π(x) функциясын бағалаудың интегралдық түріндегі логарифм астындағы сәйкес түрлендірумен интуитивті түрде түсіндірілетіні көрсетілген.

Модельді дамыту перспективалары.
Жұп емес сандармен шектелген қарастырылған модель жұп көбейткіштерді қосуға табиғи түрде мүмкіндік береді. Бұл квадраттық симметрияның нақты ось ℜ(s)=½ сәйкес келетін, ал жұп сандарды енгізу ойша компонентті енгізетін кешенді құрылымға әкелуі мүмкін. Бұл көбейткіштер торы арқылы Риман гипотезасының геометриялық интерпретациясына жол ашады.