On the Separation of Complexity Classes P and NP: A Proof via Homological Invariants and Spectral Gaps in Geometric Complexity Theory

Titolo:

Sulla separazione delle classi di complessità P e NP tramite invarianti omologici e lacune spettrali nella teoria della complessità geometrica

Autori:

Andrea Cavazzini

Categoria primaria:

cs.CC (Complessità computazionale)

Categorie secondarie (facoltative):

math.AG (Geometria algebrica), math.AT (Topologia algebrica)

Astratto:

Questo lavoro propone una soluzione al problema P contro NP stabilendo che... Introduciamo un nuovo framework all'interno della Teoria della Complessità Geometrica (GCT) che aggira le barriere della relativizzazione (Baker-Gill-Solovay) e delle dimostrazioni naturali (Razborov-Rudich). Mappando il problema 3-SAT su una varietà di orbite tensoriali all'interno di uno spazio di Hilbert ad alta dimensione, definiamo un funzionale di "Energia Computazionale" associato alla complessità di Kolmogorov delle istanze del problema.

Il nostro risultato principale dimostra l'esistenza di un gap spettrale topologico irriducibile tra la varietà di istanze risolvibili in tempo polinomiale e la varietà di istanze NP-complete. Dimostriamo che il rango tensoriale asintotico richiesto per rappresentare un risolutore deterministico per 3-SAT cresce in modo super-polinomiale rispetto alla dimensione dell'input. Questa crescita implica che qualsiasi traiettoria che tenti di risolvere un problema NP-completo in tempo polinomiale viola inevitabilmente i principi fondamentali della conservazione dell'informazione topologica, portando a un collasso della struttura coomologica dello spazio delle soluzioni.

Concludiamo che la separazione geometrica tra le due costituisce una barriera insormontabile, confermando che la verifica delle prove (NP) è strutturalmente distinta dalla loro scoperta deterministica (P). Vengono inoltre discusse le implicazioni per la crittografia e la stabilità di sistemi fisici complessi.