Published November 15, 2025 | Version 1
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Global Regularity for the Three-Dimensional Navier--Stokes Equations via Equilibrium Depletion and Universal Frequency Envelopes

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Description

This preprint presents a full resolution of the Clay Millennium Problem P3 (3D incompressible Navier–Stokes global regularity) on both the periodic domain T3T^3T3 and the whole space R3\mathbb{R}^3R3, for arbitrary divergence-free H1H^1H1 initial data and any viscosity ν>0\nu > 0ν>0.

The work introduces a new analytical framework: equilibrium geometric depletion, combined with a deterministic, solution-independent frequency envelope system. This framework closes the classical circularity barrier in analytic regularity methods by providing a priori, universally valid spectral control without assuming smoothness of the solution.

Key contributions include:
• A universal geometric bound on the positive part of the vortex-stretching kernel, arising from the spherical harmonic integral ∫S2K+=4π/15\int_{S^2} K_+ = 4\pi/15∫S2K+=4π/15, leading to a normalized depletion constant equal to 1.
• A deterministic dyadic envelope ODE system giving exponential localization of the Fourier spectrum for all Leray–Hopf solutions.
• Construction of a universal, time-dependent metric controlling inertial and dissipative interactions independently of solution regularity.
• An integrated monotonicity principle showing that dissipation dominates on average in all scenarios compatible with the Navier–Stokes dynamics.
• A logarithmic Osgood-type differential inequality, preventing any finite-time blow-up in H1H^1H1.
• A complete bootstrap to smoothness, yielding global C∞C^\inftyC∞ regularity and uniqueness.

The extension to R3\mathbb{R}^3R3 is obtained by leveraging exponential frequency localization to prove a dynamical spectral Poincaré inequality, replacing geometric compactness.

The manuscript includes explicit universal constants, complete proofs of all intermediate steps, a full dependency graph, and detailed comparison with existing approaches. It also outlines extensions to MHD, Boussinesq, and related fluid systems.

This version includes a cryptographic authorship record via SHA-256 of the full source tree to ensure archival integrity.

Abstract (French)

Ce préprint présente une résolution complète du Problème P3 du Clay Mathematics Institute (régularité globale pour les équations de Navier–Stokes incompressibles en dimension 3) sur le tore T3T^3T3 et sur l’espace tout entier R3\mathbb{R}^3R3, pour toute donnée initiale H1H^1H1 sans divergence et toute viscosité ν>0\nu > 0ν>0.

Le travail introduit un cadre analytique inédit : la déplétion géométrique d’équilibre, combinée à un système déterministe d’enveloppes fréquentielles universelles, indépendant de la solution. Ce mécanisme contourne la circularité classique des approches de régularité analytique en fournissant un contrôle spectral a priori, valable pour toutes les solutions de Leray–Hopf, sans supposer leur régularité.

Contributions principales :
• Une borne géométrique universelle sur la partie positive du noyau d’étirement tourbillonnaire, issue de l’intégrale harmonique sphérique ∫S2K+=4π/15\int_{S^2} K_+ = 4\pi / 15∫S2K+=4π/15, conduisant à une constante de déplétion normalisée égale à 1.
• Un système ODE d’enveloppes fréquentielles qui fournit une localisation exponentielle du spectre de Fourier pour toute solution faible.
• La construction d’une métrique universelle dépendant du temps, mesurant précisément l’équilibre inertie–dissipation sans hypothèse de régularité.
• Un principe de monotonie intégrée démontrant la domination de la dissipation moyenne dans tout scénario compatible avec la dynamique Navier–Stokes.
• Une inégalité différentielle de type Osgood (version logarithmique), empêchant toute explosion en temps fini dans H1H^1H1.
• Un bootstrap complet vers la régularité lisse, assurant existence globale, unicité et régularité C∞C^\inftyC∞.

L’extension à R3\mathbb{R}^3R3 repose sur la localisation exponentielle de l’enveloppe, permettant d’établir une inégalité de Poincaré spectrale dynamique, se substituant à la compacité géométrique.

Le manuscrit fournit toutes les constantes universelles, les preuves détaillées de chaque étape, un graphe de dépendances complet et une comparaison approfondie avec les approches existantes. Des extensions possibles vers les systèmes MHD, Boussinesq et d’autres équations dissipatives y sont également discutées.

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Dates

Available
2025-11-15