Lema de densidad 2-ádica en la trayectoria impar de Collatz
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Description
Este trabajo estudia la conjetura de Collatz desde una perspectiva estructural basada en la valoración 2-ádica. Se establece un lema de densidad que caracteriza cómo se distribuyen los números impares según la potencia de 2 que divide a 3n+1: aquellos con una valoración dada forman progresiones aritméticas cuya densidad decrece exponencialmente. Complementariamente, se introduce una reducción 4-ádica que agrupa los impares en familias según su último número par visible en la trayectoria de Collatz. Esta construcción genera un grafo dirigido determinista donde cada familia representa una clase de equivalencia. Se demuestra que la familia correspondiente al ciclo clásico 4→2→1 es el único nodo con autoenlace y que todas las demás familias convergen hacia ella en exactamente un paso. Aunque el trabajo no resuelve la conjetura, proporciona un marco algebraico finito que puede ser útil para análisis algorítmicos y probabilísticos futuros de la dinámica de Collatz.
Abstract (English)
This work studies the Collatz conjecture from a structural perspective based on 2-adic valuation. A density lemma is established that characterizes how odd numbers are distributed according to the power of 2 dividing 3n+1: those with a given valuation form arithmetic progressions whose density decreases exponentially. Complementarily, a 4-adic reduction is introduced that groups odd numbers into families according to their last visible even number in the Collatz trajectory. This construction generates a deterministic directed graph where each family represents an equivalence class. It is proven that the family corresponding to the classical cycle 4→2→1 is the only node with a self-loop and that all other families converge to it in exactly one step. Although this work does not solve the conjecture, it provides a finite algebraic framework that may be useful for future algorithmic and probabilistic analyses of Collatz dynamics.
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- Translated title (English)
- 2-adic Density Lemma in the Odd Collatz Trajectory
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Dates
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-
2025-11-09