Published May 26, 2025 | Version v1
Publication Open

О предельной длине последовательности простых чисел, порождаемой приведённым квадратным многочленом

Description

 

В статье даётся строгое доказательство того, что приведённый квадратный многочлен вида f(x) = x^2 + ax + b, где a и b — целые числа, не может порождать более 80 подряд простых значений при целых x.

Доказательство основано на трёх ключевых леммах:

  1. Каждое простое число может исключить не более двух значений аргумента x.
  2. Только простые числа, не превышающие максимум значений f(x), могут участвовать в делимости; среди них первые k простых дают наибольшее покрытие.
  3. Универсальная оценка показывает, что f(x) ≤ 3n^2, что ограничивает число применимых простых.

Метод полностью логический, не использует перебора и устанавливает первое строгое универсальное ограничение на длину простой последовательности, задаваемой приведённым квадратным многочленом.

Abstract (En)

This article presents a rigorous proof that a monic quadratic polynomial of the form f(x) = x^2 + ax + b, where a and b are integers, cannot generate more than 80 consecutive prime values at integer arguments.

The proof is based on three key lemmas:

  1. Any prime number can exclude at most two integer values of x by divisibility.

  2. Only primes less than or equal to max f(x) can divide the values; among them, the first k primes provide the best coverage.

  3. A universal estimate shows that f(x) ≤ 3n^2, limiting the number of applicable primes.

This logical sieve-based method avoids brute-force computation and provides the first strict, universal upper bound on the length of a prime-generating sequence defined by a monic quadratic polynomial.

Files

MonicQuadraticPrimes_Zenodo.zip

Files (397.5 kB)

Name Size
md5:9026a0c82e86cec8d4eebc082a4ff894
397.5 kB Preview Download

Additional details

Additional titles

Translated title (English)
On the maximal length of a prime-generating sequence by monic quadratic polynomials

Dates

Issued
2025-05-25

References

  • G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th ed., Oxford University Press, 2008.
  • H. Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed., Birkhäuser, 1994.
  • P. Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes, 2nd ed., Springer, 2004.
  • E. Bach and J. Shallit, Algorithmic Number Theory. Vol. 1: Efficient Algorithms, MIT Press, 1996.
  • L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality, Carnegie Institution, 1919.
  • J. Friedlander and H. Iwaniec, Opera de Cribro, American Mathematical Society, 2010.
  • A. Granville, "Prime Number Patterns," Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 53, 2016, pp. 425–487.
  • J. Maynard, "Small gaps between primes," Annals of Mathematics, Vol. 181, No. 1, 2015, pp. 383–413.
  • R. K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 3rd ed., Springer, 2004, Section B25.
  • R. Lidl and H. Niederreiter, Finite Fields, 2nd ed., Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 20, Cambridge University Press, 1997.
  • D. S. Dummit and R. M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004.
  • EIS Foundation Inc., A007635: Number of primes of the form n^2 − 79n + 1601, https://oeis.org/A007635 (accessed 2025-05-26).