Cálculo Diferencial Sob a Perspectiva da Resolução de Problemas Campina Grande - PB 2021

É comum ver que pesquisadores em diversas partes do mundo,  tenham dedicado e sigam dedicando muito 
tempo à pesquisa sobre o Cálculo e a Resolução de Problemas visando o ensino e a aprendizagem da 
Matemática, pois a Resolução de Problemas é essencial na construção do conhecimento do estudante e 
do desenvolvimento da Matemática.  A fonte inicial e principal dos problemas é o fato de que, 
permanentemente o problema coloca desafios para o homem e ele responder, com sua inteligência, sua 
capacidade de abstração e intuição.
Este Produto Educacional (e-book) constitui-se na materialização de uma investigação que envolve 
aspectos matemáticos e metodológicos.  A ideia é (re)construir conhecimentos de Li- mite e Derivada 
utilizando a Metodologia de ensino e aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas.  
Nessa metodologia, o problema é o ponto de partida para construção do conhecimento matemático, 
sendo o gerador de novos conceitos e procedimentos do Cálculo. Também é proposto aos leitores uma 
variedade de problemas, que estão praticamente todos re- solvidos no último capítulo do e-book.  
Mesmo assim é importante tentar resolvê-los primeiro antes de “espiar” a resolução/solução, 
conforme George Polya descreveu:  “Não se pode fazer Matemática  sem  sujar  as  mãos”.   
Precisamente  é  este  esforço  de  sujar  as  mãos,  com  ou  sem êxito, que nos conduz à bons 
resultados no processo de aprendizagem.
A parte mais importante deste e-book são seus problemas planteados e resolvidos, que ser- vem para 
fixar ideias, desenvolver alguns temas esboçados em muitos textos de Cálculo e tam- bém como uma 
oportunidade para que o leitor comprove a simplicidade de algumas resoluções. Deste modo, o e-book 
permitirá que os próprios estudantes avaliem suas respostas, ou seja, irão aprender respondendo, 
sem que o professor ocupe a posição de detentor do conhecimento. Para isso,  os estudantes poderão 
perceber através da Resolução de Problemas que estarão fazendo Cálculo.  E então, o que significa 
fazer Cálculo?  O estudo do Cálculo através da Resolução de Problemas é uma chave essencial para 
entrar no edifício da Matemática avançada.  Nesse sen- tido, a Resolução de Problemas tem sido 
abordada do ponto de vista da divulgação científica, que  permite  ao  aluno  a  satisfação  de  
vencer  obstáculos  e  elaborar  ideias,  vivenciando  dessa forma  o  “fazer  Cálculo”,  pois  os  
problemas  são  tomados  como  desafios,  mas  também,  com-

preendendo os conceitos de Limite e Derivada através da Resolução de Problemas, é possível admitir 
aos estudantes o “fazer Cálculo”.
Sabe-se que as disciplinas de exatas possuem um conhecimento e uma coerência original. 
Especificamente  no  caso  do  Cálculo,  no  aspecto  educacional  existe  uma  condição  especial  
à resolução de problemas.  Pois como dizia René Descartes “Não nos tornaremos matemáticos, mesmo  
que  decoremos  todas  as  demonstrações,  se  o  nosso  espírito  não  for  capaz,  por  si,  de 
resolver qualquer espécie de problema”.
Alguns leitores certamente perguntarão: por que mais um produto sobre Cálculo? Já não há tantos no 
mercado? Sim, mas nenhum deles toma como objeto de estudo os problemas relativos à compreensão do 
Limite e Derivada através da Resolução de Problemas.  Essa ideia de traba- lhar,  ou  seja,  
estudar  através  da  Resolução  de  Problemas  é  justamente  o  que  desenvolvemos neste e-book, 
pois consideramos o problema como ponto de partida e orientação para a apren- dizagem  do  Cálculo  
estudado  na  Licenciatura  em  Matemática,  diversos  cursos  das  Ciências Exatas, Tecnologias e 
Engenharias.
O  estudo  do  Cálculo  Diferencial  foi  criado  a  partir  da  Álgebra  e  da  Geometria  visando 
atender algumas necessidades básicas acerca do estudo dos movimentos e das variações.  Na 
atualidade, apesar de ser uma das ferramentas mais completas e dinâmicas que existe no estudo da 
matemática, o cálculo e suas extensões na análise matemática estão muito mais abrangentes e, para 
entender tal feito, observa-se a quantidade de problemas que este resolve e a variedade de campos 
que utilizam o cálculo para modelar e resolver problemas.
Em matemática, o Cálculo é usualmente utilizado para manipular pequenas quantidades e, 
historicamente, um dos métodos desenvolvidos para realizar tal estudo advinha do conceito de 
limite,  o  qual  é  usado  para  descrever  o  comportamento  de  uma  função  à  medida  que  o  
seu argumento  se  aproxima  de  um  determinado  valor,  associando,  assim,  à  noção  de  
distância. Além disto, é possível estudar como é o comportamento de uma sequência de números reais, 
à medida que o índice (da sequência) converge ao infinito.  Este conceito foi fundamental para a 
construção do Cálculo Diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir, por 
exemplo, as derivadas e a continuidade de funções.  O conceito de derivada, também chamado de  
“diferenciação”,  é  fundamentalmente  mais  avançado  do  que  os  conceitos  encontrados  em 
álgebra,  por  se  tratar  de  um  operador  linear,  o  qual  determina  uma  nova  função  a  
partir  da função  original,  onde  cada  ponto  desta  nova  função  corresponde  ao  deslocamento 
 da  função original.
O  objetivo  deste  e-book  é  ressaltar  a  importância  da  introdução  dos  conceitos  básicos  
de cálculo diferencial de forma contextualizada,  fazendo uma ponte entre a matemática clássica com 
os novos métodos de ensino aprendizagem, a saber, a Resolução de problemas. Para tanto, este 
material foi desenvolvido objetivando que os conceitos e resultados venham acompanhados de uma 
motivação ou interpretação física ou geométrica.  Propiciando aos alunos uma compre- ensão clara 
dos conceitos, envolvendo funções reais e, a partir daí, possibilitando os alunos a desenvolverem a 
capacidade de modelar problemas matemáticos e provas envolvendo conceitos

topológicos, bem como as noções intuitivas de limites, continuidade, derivadas, diferenciabili- 
dade e comportamento de funções.
Nossa expectativa é que este texto assuma o caráter de espinha dorsal de uma nova pers- pectiva 
para o estudo de cálculo, esperando-se, portanto, que o estudante de cálculo tenha um conhecimento 
prévio em certas áreas da matemática, como funções (modular, exponencial, lo- garítmica, par, 
ímpar, afim e segundo grau, por exemplo), trigonometria, polinômios, geometria plana, espacial e 
analítica, pois são a base deste estudo.
Em geral, entendemos que os problemas movem a matemática, sejam problemas interiores à  própria  
matemática,  tornando  possível  a  evolução  da  matemática  pura,  ou  até  mesmo  pro- blemas 
exteriores a matemática, tornando possível a evolução da matemática aplicada.  Nessa perspectiva, 
enxergamos a possibilidade de unir a teoria de Resolução de Problemas ao Cálculo Diferencial, e 
dessa forma tornar possível uma melhor compreensão do Cálculo.
O e-book tem como objetivo geral abordar o Cálculo Diferencial sob a perspectiva da Reso- lução de 
Problemas.  Neste material, o leitor encontrará uma distribuição bastante intuitiva dos capítulos e 
seções, desta maneira, o estudante terá uma boa experiência ao utilizar o presente material  em  
seus  estudos.   O  e-book  está  dividido  precisamente  em  seis  capítulos,  dos  quais dois (o 
segundo e o quarto) estão destinados a apresentar os problemas propostos, no entanto, o e-book 
possui 30 problemas, os quais são solucionados e comentados no sexto capítulo.  O primeiro  
capítulo  situa  o  leitor  acerca  da  teoria  de  Resolução  de  Problemas,  trazendo  a  gê- 
nese da pesquisa em resolução de problemas e teoria de Resolução de Problemas, bem como a 
metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Pro- blemas,  
como  já  explicitado  no  início  desta  apresentação.   O  terceiro  capítulo  trata  da  teoria 
de Limite e Continuidade de funções, o texto possui demonstrações bem detalhadas da maioria dos 
teoremas apresentados.  No quinto capítulo é desenvolvido a teoria de Derivadas desde a sua 
definição até os teoremas necessários para estudar problemas de otimização, novamente é possível 
encontrar as demonstrações da maioria dos teoremas apresentados.
Deve-se observar a conexão entre os capítulos, ou seja, a relação de dependência entre eles. O 
primeiro capítulo é de certa forma independente dos demais, apesar de sustentar a forma com que são 
apresentados os capítulos 2, 4 e 6.  O segundo capítulo depende do terceiro, o quarto depende do 
quinto, e o sexto do segundo e do quarto.  Por fim, temos a dependência entre os capítulos 3 e 5.
Diferentemente da maioria dos textos de Cálculo, este material possui uma pequena quanti- dade de 
exemplos, na verdade não foi adotado o termo "exemplo"durante o texto, e sim “proble- mas 
resolvidos”, os mesmos aparecem somente quando são indispensáveis. Pois bem, devemos explicar o 
porquê da pequena quantidade de problemas propostos, isto se dá pelo fato da faci- lidade de entrar 
problemas em diversos títulos de Cálculo,  na realidade o que o texto traz de inovador são as 
chamadas resoluções comentadas dos problemas, nesta parte avançamos além dos textos já conhecidos 
quando se estuda Cálculo, visto que além da resolução do problema trazemos os conceitos envolvidos 
e os objetivos de cada problema, além disso são tecidos co-

mentários específicos para cada um dos problemas apresentados, todos estes fatos devem ser de 
grande valor para o leitor interessado no presente texto.
Até  o  momento  discorremos  sobre  este  e-book  e  sua  distribuição  de  conteúdos,  mas  não 
mencionado qual a origem deste Produto Educacional.  Em síntese, esse é um dos frutos mais bonitos 
de uma pesquisa de Iniciação Científica, que foi desenvolvida/realizada em 2019-2020 com o apoio do 
CNPq.  Através desta pesquisa constatamos que as potencialidades da meto- dologia de Resolução de 
Problemas aliada ao Cálculo Diferencial, podem influenciar de forma significativa a aprendizagem do 
estudante, que resultou na criação deste e-book.
Por fim, ressaltamos a relevante contribuição deste e-book, o qual, sem dúvida, auxiliará os 
estudantes na compreensão do Cálculo Diferencial sob a perspectiva da Resolução de Problemas que 
promovam a aprendizagem dos conceitos de Limite e Derivada nos primeiros anos do curso Superior.  
Acreditamos que as atividades aqui propostas também poderão auxiliar outros níveis de ensino, de 
modo a contribuir para a compreensão dos conceitos algébricos pelos estudantes em prol da 
constituição de uma formação crítica, científica e cidadã.
Os autores
 

Publicação EDUEPB disponível no site: http://eduepb.uepb.edu.br/e-books/