\documentclass[17pt]{extarticle}

\usepackage[utf8]{inputenc} % allow utf-8 input
\usepackage[T1]{fontenc}    % use 8-bit T1 fonts
\usepackage{hyperref}       % hyperlinks
\usepackage{url}            % simple URL typesetting
\usepackage{booktabs}       % professional tables
\usepackage{amsfonts}       % blackboard math symbols
\usepackage{nicefrac}       % compact symbols for 1/2
\usepackage{microtype}      % microtypography
\usepackage{lipsum}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{color,soul}
\usepackage{indentfirst,cite}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\usepackage{graphicx,fancyhdr}
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage[multiple]{footmisc}
\usepackage{MnSymbol}
\usepackage[pscoord]{eso-pic}
\usepackage{mathtools,braket}
\usepackage[portuguese]{babel}
\usepackage{setspace}
\usepackage{xurl}

\newcommand{\placetextbox}[3]{\setbox0=\hbox{#3}
\AddToShipoutPictureFG*{\put(\LenToUnit{#1\paperwidth},\LenToUnit{#2\paperheight}){\vtop{{\null}\makebox[0pt][c]{#3}}}}}

\usepackage[headheight=55pt]{geometry}
\geometry{a4paper,total={170mm,257mm},left=15mm,right=15mm,top=25mm}

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\title{{\bf Para que servem os números?}}

\author{Colaboração Matemática Aberta\textsuperscript{1}}

\footnotetext[1]{Todos os autores com suas afiliações aparecem no final deste artigo.}

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\begin{document}
\maketitle

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\begin{abstract}

\noindent\texttt{Apresentamos os números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Cada um deles serve para quantificar diferentes tipos de objetos.}

\end{abstract}

\begin{center}
\noindent {\footnotesize\textsf{{\bf palavras-chave}: introdução aos números, naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais}}
\end{center}

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

\begin{center}{\it\small A versão mais atualizada deste artigo está disponível em}\\\footnotesize{\url{https://osf.io/tyn7k/download}\\\url{https://zenodo.org/record/6359953}}\end{center}

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\section*{Introdução}

\begin{enumerate}[leftmargin=*,resume]

\item Ao longo do tempo, a humanidade sentiu a necessidade de criar algo que pudesse {\it quantificar} os objetos, bem como a posição em que eles ocupam, nos casos em que o {\it ordenamento} fosse importante.

\item Assim, os {\bf números} foram criados com o intuito de {\bf quantificar} e {\bf ordenar} objetos.

\item A {\it quantificação} nos ajuda na {\it contagem}, em {\it medidas de comprimento e do peso}, no {\it cálculo de velocidade}, entre outras grandezas. 

\newpage 

\item Com a criação dos \underline{diferentes tipos} de {\it números}, foi necessário organizá-los em {\it conjuntos}.

\item Para se \underline{aprofundar} nos temas descritos neste {\it white paper}, {\bf estude} e {\bf faça os exercícios} de \cite{demana,schaum,stewart}.

\item É importante mencionar que a matemática busca por padrões que são escritos por meio de símbolos com significados precisos.

\end{enumerate}

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\section*{Pré-requisitos}

\begin{enumerate}[leftmargin=*,resume]

\item \cite{mat-zero}

\end{enumerate}

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\section*{Conjuntos}

\begin{enumerate}[leftmargin=*,resume]

\item \texttt{Conjunto} é uma {\it coleção} ({\it reunião}) de objetos.
\item Considere um conjunto contendo três bolinhas pretas numeradas.\label{bpr}
\item (\ref{bpr}) pode ser representado assim, $$\{\bullet_1,\bullet_2,\bullet_3\}.$$
\item Note que as chaves $\{~\}$ delimitam os elementos do conjunto da mesma forma que, fazendo uma analogia, {\it uma caixa delimita os objetos em seu interior}.

\end{enumerate}

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\section*{Naturais}

\begin{enumerate}[leftmargin=*,resume]

\item O {\it conjunto dos números naturais} é \underline{definido} pelo {\it símbolo} $\mathbb N$, isto é, $$\mathbb N:= \mbox{\textbf{conjunto} dos \textit{números} \textbf{naturais}}.$$

\item Os {\it números naturais} caracterizam {\it quantidades}.

\item $$\mathbb N=\{1,2,3,...\}$$

\item $\mathbb N$ pode ser definido com ou sem o número zero.

\end{enumerate}

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\section*{Construção dos números naturais a partir de conjuntos}

\begin{enumerate}[leftmargin=*,resume]

\item Os números naturais podem ser construídos fazendo-se a correspondência com a quantidade de elementos dos seus respectivos conjuntos.

\item \texttt{John von Neumann} teve a {\it brilhante ideia de associar o número 0 ao conjunto vazio} ($\emptyset$) e, em seguida, {\it definir os demais naturais sucessivamente} \cite{roads}, conforme mostrado a seguir.

\item $0=\{~\}=\emptyset$
\item $1=\{0\}$
\item $2=\{0,1\}$
\item $3=\{0,1,2\}$
\item $\dots$
\item $n=\{0,1,2,3,...,n-1\}$

\item \textbf{\textit{A partir do conjunto VAZIO, INFINITOS números naturais podem ser definidos!}}

\end{enumerate}

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\section*{Inteiros}

\begin{enumerate}[leftmargin=*,resume]

\item Os {\bf números inteiros} são compostos pelos {\it naturais}, colocando-se um {\it sinal positivo} ($+$) ou {\it negativo} ($-$) antes dele.

\item $\mathbb Z:=$ {\bf conjunto} dos {\it números} {\bf inteiros}

\item $$\mathbb Z=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}=\{0,\pm1,\pm2,,\pm3,...\}$$

\item O símbolo $\pm$ é lido como {\it mais ou menos} e significa que o número pode ser positivo ou negativo.

\end{enumerate}

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\section*{Racionais}

\begin{enumerate}[leftmargin=*,resume]

\item O nome \texttt{racional} vem de {\it razão}.

\item Os {\it números racionais} são construídos a partir de {\it divisões de números inteiros}.

\item $\mathbb Q:=$ {\bf conjunto} dos {\it números} {\bf racionais}

\item \label{q} $$\mathbb Q=\left\{r=\frac{n}{d}:n,d\in\mathbb Z;d\neq0\right\}$$

\item (\ref{q}) significa {\it $\mathbb Q$ é o conjunto de todos os números $r$ iguais a $n$ dividido por $d$ tal que $n$ e $d$ pertencem aos números inteiros $\mathbb Z$, com $d\neq0$}.

\item O {\it exemplo} a seguir mostra alguns elementos do conjunto dos números racionais,\label{exq} $$\mathbb Q=\left\{-\frac{2}{3},7,\frac{13}{11},-9,0,...\right\}.$$

\item Os elementos de $\mathbb Q$ do exemplo (\ref{exq}) foram escolhidos aleatoriamente.

\item Nos {\it números racionais}, definimos a seguinte {\it nomenclatura} $$\mbox{número racional}=\frac{\mbox{numerador}}{\mbox{denominador}}.$$

\item Todo {\it número inteiro} é um {\it número racional com denominador igual a 1}.

\item Note que o {\bf denominador} de um {\it número racional} tem que ser {\bf diferente de zero} porque o \underline{sistema numérico} que estudaremos \underline{não} permite essa operação.

\item A {\bf divisão por zero} requer um {\it sistema numérico mais avançado}; os interessados podem ler mais a respeito em \cite{divisao-zero,um-sobre-zero,aritmetica-transfinitos,soma-ilimitada}.

\end{enumerate}

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\section*{Irracionais}

\begin{enumerate}[leftmargin=*,resume]

\item Após a {\it criação/descoberta} dos {\it números naturais, inteiros} e {\it racionais}, percebeu-se que esses conjuntos \underline{não eram suficientes} para a {\it resolução} de certos tipos de {\it problemas}, dando início a um novo tipo de número, os {\bf irracionais}.

\item Por exemplo, a equação $x^2=2$ não tem solução para $x\in\mathbb Q$.

\item Os {\bf números irracionais}, como o próprio nome diz, \underline{NÃO} podem ser escritos como a {\it \underline{razão de dois números inteiros}}.

\item $\mathbb I:=$  {\bf conjunto} dos {\it números} {\bf irracionais}

\item $\mathbb I:=\left\{\sqrt{2},\sqrt{3},\pi,\sqrt[3]{2},\frac{1}{\pi},...\right\}$

\item {\it É incrível que existam números desse tipo (os irracionais), que não podem ser escritos como a razão de números inteiros!!}

\item Todos os números reais que não podem ser escritos como a razão de dois inteiros são irracionais.

\item Note que o conjunto dos racionais não tem nenhum elemento em comum com o conjunto dos irracionais, isto é, ou um dado número é racional, ou é irracional, nunca ambos; aqui, trata-se de um ``ou'' excludente.

\end{enumerate}

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\section*{Reais}

\begin{enumerate}[leftmargin=*,resume]

\item $\mathbb R:=$  {\bf conjunto} dos {\it números} {\bf reais}

\item O conjunto dos {\bf números reais} é composto pela {\it união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos irracionais} que, em símbolos, se escreve assim, $$\mathbb R=\mathbb Q~\cup~\mathbb I.$$

\begin{figure}[htpb]
\begin{center}	
\resizebox{0.6\columnwidth}{!}{
\includegraphics{real.png}}
\caption{O conjunto dos {\it números} {\bf naturais} está {\it contido} no conjunto dos {\bf inteiros}, que está {\it contido} no conjunto dos {\bf racionais}, que está {\it contido} no conjunto dos {\bf reais} \cite{wiki-real}.}
\label{fig:1}
\end{center}
\end{figure}

\item A Fig. \ref{fig:1} indica que o conjunto dos naturais ($\mathbb N$) é um subconjunto dos inteiros ($\mathbb Z$) que, por sua vez, é um subconjunto de $\mathbb Q$, que é um subconjunto de $\mathbb R$.

\item O símbolo $\subset$ é utilizado entre conjuntos e significa {\it contido}, mas diferente.

\item Por exemplo, $A\subset B$ significa que $A$ está contido em $B$, com $A\neq B$; neste caso, dizemos que $A$ é um {\it subconjunto próprio} de $B$.

\item Assim, temos que $$\mathbb N\subset \mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R.$$

\item O símbolo $\subseteq$ significa {\it contido}, podendo ser igual ou não.

\item Por exemplo, podemos escrever $\mathbb N\subseteq\mathbb N$.

\end{enumerate}

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\section*{Quantificadores}

\begin{enumerate}[leftmargin=*,resume]

\item \underline{Questão para o leitor} \vspace{0.2cm}\\ {\it Associe diferentes tipos de objetos com seus respectivos conjuntos que melhores podem quantificá-los.}

\end{enumerate}

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\section*{Considerações Finais}

\begin{enumerate}[leftmargin=*,resume]

\item Cada tipo de número serve para quantificar/ordenar determinadas categorias de objetos.

\end{enumerate}

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\section*{Ciência Aberta}

O {\bf arquivo latex} para este artigo, juntamente com outros {\it arquivos suplementares}, estão disponíveis em \cite{ojmp-project,zen}. Seja coautor(a) deste artigo, envie sua contribuição para \href{mailto:mplobo@uft.edu.br}{\texttt{mplobo@uft.edu.br}}.

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\section*{Consentimento}

Os autores concordam com \cite{ojmp-guidelines}.

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\section*{Como citar este artigo?}

\noindent\url{https://doi.org/10.31219/osf.io/tyn7k}\\
\noindent\url{https://zenodo.org/record/6359953}

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\section*{Licença}

{\it CC-By Attribution 4.0 International} \cite{cc}

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{demana} Demana, Franklin D., Bert K. Waits, and Gregory D. Foley. {\it Pré-cálculo}, 2a edição. Pearson Education, 2013.

\bibitem{schaum} Safier, Fred. {\it Pré-cálculo: Coleção Schaum}, 2a edição. Bookman Editora, 2011.

\bibitem{stewart} Stewart, James, Lothar Redlin, and Saleem Watson. {\it Precalculus: Mathematics for calculus}, 7th edition. Cengage Learning, 2013.

\bibitem{mat-zero} Lobo, Matheus P. “Matemática Zero.” {\it OSF Preprints}, 1 Oct. 2020. \url{https://doi.org/10.31219/osf.io/dgsf2}

\bibitem{roads} Stillwell, John. {\it Roads to Infinity: The mathematics of truth and proof}. CRC Press, 2010.\\\url{https://books.google.com/books?id=XvPRBQAAQBAJ}

\bibitem{divisao-zero} Lobo, Matheus P. “Divisão Por Zero?.” {\it OSF Preprints}, 14 Sept. 2020. Web. \url{https://doi.org/10.31219/osf.io/kyh5g}

\bibitem{um-sobre-zero} Lobo, Matheus P. “Limite De 1 Sobre X Tendendo a Zero Nos Ordinais.” {\it OSF Preprints}, 13 Sept. 2020.\\ \url{https://doi.org/10.31219/osf.io/epnj4}
162

\bibitem{aritmetica-transfinitos} Lobo, Matheus P. “Aritmética Dos Ordinais Transfinitos.” {\it OSF Preprints}, 10 Sept. 2020. \url{https://doi.org/10.31219/osf.io/h3t5f}

\bibitem{soma-ilimitada} Lobo, Matheus P. “Soma Ilimitada, Subtração Limitada.” {\it OSF Preprints}, 4 Oct. 2020. \url{https://doi.org/10.31219/osf.io/p3r52}

\bibitem{wiki-real} Wikipedia. {\it Real number}.\\ \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number}

\bibitem{ojmp-project} Lobo, Matheus P. “Open Journal of Mathematics and Physics (OJMP).” {\it OSF}, 21 Apr. 2020.\\ \url{https://doi.org/10.17605/osf.io/6hzyp}

\bibitem{zen} \url{https://zenodo.org/record/6359953}

\bibitem{ojmp-guidelines} Lobo, Matheus P. “Simple Guidelines for Authors: Open Journal of Mathematics and Physics.” {\it OSF Preprints}, 15 Nov. 2019.\\\url{https://doi.org/10.31219/osf.io/fk836}

\bibitem{cc} CC. Creative Commons. {\it Attribution 4.0 International} (CC BY 4.0)\\\url{https://creativecommons.org/licenses/by/4.0}

\end{thebibliography}

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\section*{Colaboração Matemática Aberta}

\noindent {\bf Matheus Pereira Lobo}\textsuperscript{1,2} (\texttt{autor principal,} \href{mailto:mplobo@uft.edu.br}{\texttt{mplobo@uft.edu.br}})\\\url{https://orcid.org/0000-0003-4554-1372}\\

\noindent Jainara Vanessa Alves dos Santos\textsuperscript{1}\\ Bruna Borges Costa\textsuperscript{1}\\ Kamile Lima Rangel\textsuperscript{1}\\

%\noindent (Aguardando revisão dos demais coautores)\\

\noindent\textsuperscript{1}Universidade Federal do Tocantins (Brasil)\\\textsuperscript{2}Universidade Aberta (UAb, Portugal)

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\end{document}
