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%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\title{{\bf Prova da inseparabilidade do emaranhamento máximo: um algoritmo de resolução}}

\author{Colaboração Ciência Aberta\textsuperscript{1}}

\footnotetext[1]{Todos os autores com suas afiliações aparecem no final deste artigo.}

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\begin{document}
\maketitle

%––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
\begin{abstract}

\noindent\texttt{Apresentamos um algoritmo de resolução, com o intuito de guiar o leitor na demonstração da inseparabilidade de duas partículas maximamente emaranhadas.}

\end{abstract}

\begin{center}
\noindent {\footnotesize\textsf{{\bf palavras-chave}: emaranhamento máximo, bit quântico, qubit, teoria da informação quântica}}
\end{center}

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\begin{center}{\it\small A versão mais atualizada deste artigo está disponível em}\\\footnotesize{\url{https://osf.io/vcx8b/download}\\\url{https://zenodo.org/record/5533018}}\end{center}

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\section*{Preâmbulo}

\begin{enumerate}[leftmargin=*,resume]

\item Este {\it white paper} \cite{revista-aberta,microarticles} é uma adaptação de \cite{proof}, transposto na forma de um {\bf Algoritmo de Resolução}, seguindo a licença \cite{cc}.

\item Um \texttt{Algoritmo de Resolução} é um material de cunho didático-\\pedagógico, que está entre a {\it resolução completa} e o {\it gabarito} de um problema.

\end{enumerate}

\newpage

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\section*{Introdução}

\begin{enumerate}[leftmargin=*,resume]

\item Um bit quântico (qubit) é representado por $\ket{\phi}=\alpha\ket{0}+\beta\ket{1}$.

\item $\alpha$ e $\beta$ são números complexos, satisfazendo $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$.

\item $\ket{0}$ e $\ket{1}$ são estados quânticos.\label{01}

\item (\ref{01}) pode caracterizar o spin (para cima/baixo), a polarização (horizontal/vertical), por exemplo.

\item Um sistema de duas partículas é descrito pelo produto tensorial,\label{tnsp} $$\ket{0}\otimes\ket{1}\equiv\ket{0}\ket{1}\equiv\ket{01}.$$

\item Em (\ref{tnsp}), a partícula 1 está no estado $\ket{0}$, e a partícula 2 está no estado $\ket{1}$.

\end{enumerate}

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\section*{Emaranhamento máximo}

\begin{enumerate}[leftmargin=*,resume]

\item O seguinte estado de Bell representa o emaranhamento máximo\label{bell}
\[\ket{\psi}=\alpha\ket{01}+\beta\ket{10},\]
\noindent onde: $\alpha,\beta\in\mathbb{C}$; $\alpha\neq 0$, $\beta\neq 0$; $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$.

\item O sistema (\ref{bell}) é composto por duas partículas, cada uma pode ser medida em um dos dois estados, $\ket{0}$ ou $\ket{1}$.

\end{enumerate}

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\section*{Inseparabilidade}

\begin{enumerate}[leftmargin=*,resume]

\item Suponha que $\ket{\psi}$ em (\ref{bell}) seja separável, i.e.,\label{sep}
\[\ket{\psi}=\ket{A}\ket{B}.\]

\item Considere que a partícula $A$ esteja na superposição quântica\label{a}
\[\ket{A}=a\ket{0}+b\ket{1}.\]

\item E considere que a partícula $B$ esteja no estado\label{b}
\[\ket{B}=c\ket{0}+d\ket{1}.\]

\item $a,b,c,d\in\mathbb{C}$ são as amplitudes para os estados quânticos $\ket{A}$ e $\ket{B}$, com $|a|^2+|b|^2=1$, e $|c|^2+|d|^2=1$.

\item As seguintes condições são obrigatórias para que $A$ e $B$ estejam em uma superposição na base computacional $\ket{0}$ e $\ket{1}$,\label{not-zero}
\[a\neq0,\hspace{0.2cm} b\neq0,\hspace{0.2cm} c\neq0,\hspace{0.2cm} d\neq0.\]

\item Explique, a seguir, o porquê da condição (\ref{not-zero}).
\begin{mdframed}[tikzsetting={draw=teal,line width=0.6pt}]
\vspace{15.5cm}
\end{mdframed}

\newpage

\item Insira (\ref{a}) e (\ref{b}) em (\ref{sep}), e mostre que\label{psi2} 
$$\ket{\psi}=ac\ket{00}+ad\ket{01}+bc\ket{10}+bd\ket{11};$$ inclua todas as passagens matemáticas.
\begin{mdframed}[tikzsetting={draw=teal,line width=0.6pt}]
\vspace{21.4cm}
\end{mdframed}\newpage

\item Iguale (\ref{bell}) a (\ref{psi2}) e obtenha\label{one} $$\alpha\ket{01}+\beta\ket{10}=ac\ket{00}+ad\ket{01}+bc\ket{10}+bd\ket{11};$$ qual item justifica esse passo e por quê?

\begin{mdframed}[tikzsetting={draw=teal,line width=0.6pt}]
\vspace{21.4cm}
\end{mdframed}\newpage

\item Compare os termos que multipicam o estado $\ket{01}$ em (\ref{one}) e mostre que $\alpha=ad$.\label{comp1}
\begin{mdframed}[tikzsetting={draw=teal,line width=0.6pt}]
\vspace{23.3cm}
\end{mdframed}\newpage

\item Faça o mesmo que em (\ref{comp1}), mas para o estado $\ket{10}$, e mostre que $\beta=bc$.
\begin{mdframed}[tikzsetting={draw=teal,line width=0.6pt}]
\vspace{23.3cm}
\end{mdframed}\newpage

\item Analisando o lado esquerdo de (\ref{one}), explique, considerando os estados $\ket{00}$ e $\ket{11}$, por que $ac=0$ e $bd=0$.\label{zero}

\begin{mdframed}[tikzsetting={draw=teal,line width=0.6pt}]
\vspace{23.2cm}
\end{mdframed}\newpage

\item Podemos dizer que o resultado obtido em (\ref{zero}) contradiz o resultado obtido em (\ref{not-zero})? Justifique.\label{contradiz}

\begin{mdframed}[tikzsetting={draw=teal,line width=0.6pt}]
\vspace{23.2cm}
\end{mdframed}\newpage

\item Com base na resposta que você deu em (\ref{contradiz}), podemos dizer que a {\bf hipótese} (\ref{sep}) está {\it correta} ou {\it incorreta}? Por quê?\label{correto-incorreto}

\begin{mdframed}[tikzsetting={draw=teal,line width=0.6pt}]
\vspace{23.2cm}
\end{mdframed}\newpage

\item Considerando a resposta que você deu em (\ref{correto-incorreto}), isso prova que $\ket{\psi}$ em (\ref{bell}) é um estado quântico {\it separável}, dado por\label{cqd} $$\ket{\psi}=\ket{A}\ket{B},$$ ou {\it inseparável}, dado por $$\ket{\psi}\neq\ket{A}\ket{B}?$$

\begin{mdframed}[tikzsetting={draw=teal,line width=0.6pt}]
\vspace{18.8cm}
\end{mdframed}\newpage

\item Na matemática, a demonstração finalizada em (\ref{cqd}) é denominada {\it prova por} ...?

\begin{mdframed}[tikzsetting={draw=teal,line width=0.6pt}]
\vspace{0.6cm}
\end{mdframed}

\end{enumerate}

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\section*{Superposição de dois qubits}

\begin{enumerate}[leftmargin=*,resume]

\item Considere $\ket{\psi_2}$ na seguinte superposição,
\[\ket{\psi_2}=m\ket{00}+n\ket{01}+p\ket{10}+q\ket{11},\]

\noindent onde $m,n,p,q\in\mathbb{C}$ e são todos diferentes de zero.

\item $\ket{\psi_2}$ é separável? Por quê? Se sim, escreva-o em função dos estados separáveis.

\begin{mdframed}[tikzsetting={draw=teal,line width=0.6pt}]
\vspace{13.4cm}
\end{mdframed}\newpage

\end{enumerate}

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\section*{Considerações Finais}

\begin{enumerate}[leftmargin=*,resume]

\item O emaranhamento quântico é um dos recursos mais importantes da teoria da informação quântica  \cite{nielsen,dancing,everyone}.

\item O próprio espaço-tempo parece estar entrelaçado \cite{van}.

\item Na teoria da relatividade especial, sabemos que espaço e tempo são vinculados por $\tau^2=t^2-x^2$ \cite{mink,taylor}, onde $t$ e $x$ são a duração e a separação espacial, respectivamente, entre dois eventos quaisquer.

\item Além disso, considerando o \texttt{princípio da incerteza}, \ul{espa\c{c}o} e \ul{mat\'eria} estão {\it emaranhados}, bem como {\bf energia} e {\bf tempo}.

\end{enumerate}

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\section*{Ciência Aberta}

O {\bf arquivo latex} para este artigo, juntamente com outros {\it arquivos suplementares}, estão disponíveis em \cite{ojmp-project}. Seja coautor(a) deste artigo, envie sua contribuição para \href{mailto:mplobo@uft.edu.br}{\texttt{mplobo@uft.edu.br}}.

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\section*{Consentimento}

Os autores concordam com \cite{ojmp-guidelines}.

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\section*{Como citar este artigo?}

\noindent\url{https://doi.org/10.31219/osf.io/vcx8b}\\
\noindent\url{https://zenodo.org/record/5533018}

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\section*{Licença}

{\it CC-By Attribution 4.0 International} \cite{cc}

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\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{revista-aberta} Lobo, Matheus P. “Uma Revista Aberta.” {\it OSF Preprints}, 19 July 2021. \url{https://doi.org/10.31219/osf.io/fjb9a}

\bibitem{microarticles} Lobo, Matheus P. “Microarticles.” {\it OSF Preprints}, 28 Oct. 2019.\\ \url{https://doi.org/10.31219/osf.io/ejrct}

\bibitem{proof} Lobo, Matheus P. “Proof of the Inseparability of Maximal Entanglement.” {\it OSF Preprints}, 20 July 2019. https://doi.org/10.31219/osf.io/aejm3

\bibitem{cc} CC. Creative Commons. {\it CC-By Attribution 4.0 International}.\\\url{https://creativecommons.org/licenses/by/4.0}

\bibitem{nielsen} Nielsen, Michael A., and Isaac Chuang. {\it Quantum computation and quantum information}. Cambridge University Press, 2010.

\bibitem{dancing} Sutor, Robert S. {\it Dancing with Qubits: How quantum computing works and how it can change the world}. Packt Publishing Ltd, 2019.

\bibitem{everyone} Bernhardt, Chris. {\it Quantum computing for everyone}. MIT Press, 2019.

\bibitem{van} Van Raamsdonk, Mark. ``Building up spacetime with quantum entanglement.'' {\it General Relativity and Gravitation} 42.10 (2010): 2323-2329.

\bibitem{mink} Lorentz, Hendrik Antoon, et al. The principle of relativity: a collection of original memoirs on the special and general theory of relativity. Courier Corporation, 1952.

\bibitem{taylor} Taylor, Edwin F., Edwin F. Taylor, and John Archibald Wheeler. {\it Spacetime Physics}. Macmillan, 1992.

\bibitem{ojmp-project} Lobo, Matheus P. “Open Journal of Mathematics and Physics (OJMP).” {\it OSF}, 21 Apr. 2020.\\\url{https://doi.org/10.17605/osf.io/6hzyp}

\bibitem{ojmp-guidelines} Lobo, Matheus P. “Simple Guidelines for Authors: Open Journal of Mathematics and Physics.” {\it OSF Preprints}, 15 Nov. 2019.\\\url{https://doi.org/10.31219/osf.io/fk836}

\end{thebibliography}

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\section*{Colaboração Ciência Aberta}

\noindent {\bf Matheus Pereira Lobo} (\texttt{autor principal,} \href{mailto:mplobo@uft.edu.br}{\texttt{mplobo@uft.edu.br}})\textsuperscript{1,2}\\ \url{https://orcid.org/0000-0003-4554-1372}\\

\noindent {\bf Lídia Cruz de Araújo}\textsuperscript{1}\\

%\noindent (Aguardando revisão dos demais coautores)\\

\noindent\textsuperscript{1}Universidade Federal do Tocantins (Brasil)\\\textsuperscript{2}Universidade Aberta (UAb, Portugal)

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\end{document}
